как задается кубит?

[Gickle]

Для простоты рассмотрим два кубита. В общем случае состояние такое системы живёт в тензорном произведении пространств каждого из кубитов. В качестве базиса можно выбрать $\lbrace |0\rangle_A \otimes |0\rangle_B, |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B, |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B, |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B \rbrace$ \equiv \lbrace |00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\rbrace, так что произвольное (чистое) состояние имеет вид $|\psi\rangle = \alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle + \alpha_{10} |10\rangle + \alpha_{11} |11\rangle$.

Существует, конечно, подкласс состояний, которые могут быть представлены в виде произведения двух одночастичных состояний (их называют сепарабельными или product states). Иными словами, таких состояний, что $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = (\alpha_1 |0 \rangle + \beta_1 |1 \rangle) \otimes (\alpha_2 |0 \rangle + \beta_2 |1 \rangle)$. В таких случаях состояние можно представить в виде двух (в общем случае $n$) сфер Блоха.

Если же состояние нельзя представить в виде произведения одночастичных, говорят, что система запутана. Состояния именно такого вида являются ключевыми для разного рода квантовых вычислений/технологий. Ну и очевидно при этом, что они уже представления в виде точки на двумерной сфере Блоха не позволяют. Тут уже даже для двух кубитов получается семимерная сфера (плюс произвольность фазы $\implies$ шесть координат). Какую-то геометрическую картину это всё, разумеется, имеет, только вот практическая польза от неё вряд ли велика.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573502 писал(а):

С запутанностью это связано следующим образом: в классическом случае состояния подсистемы независимы: задав состояние всех подсистем мы полностью определили состояние системы. В квантовом это не так, и это видно из того, что в базис тензорного произведения входят не базисные вектора исходных подсистем, а кортежи этих векторов.

ничего не понимаю. В том смысле, что прямое и тензорное - разве не "те же яйца, только в профиль"? Вот допустим у нас 3 сферы Блоха (в виде нечестных монеток) , т. е. 6 независимых параметров (по 2 на каждой). И вот нечестный шлифовальщик что-то там накрутил в одной из сфер (изменил ее состояние, так, что она устойчиво начала выдавать на измерениях не $0.8$ к $0.2$, а, скажем, $0.3$ к $0.7$), что безусловно поменяло всю систему, если говорить о ней в терминах шестимерного пространства (прямого произведения), т. к. изменение наблюдаемых вероятностей следуют из перетаскивания точки на сфере Блоха (а это значит, что хотя бы одна координата из 2-х на ней изменилась) . Но также безусловно поменяется и вся система в терминах восьмимерного пространства (т. е. все коэффициенты при $( \left\lvert000\right\rangle, \left\lvert001\right\rangle,..., \left\lvert111\right\rangle)$, т. к. "измерение (процесс, а не элемент базиса) в восьмимерной системе" соответствует 3-м измерениям (процессам) (для каждой сферы). А, в свою очередь, в каждом из 8-ми базисных направлений $( \left\lvert000\right\rangle, \left\lvert001\right\rangle,..., \left\lvert111\right\rangle)$ поменянная сфера участвует наряду с двумя непоменянными...
Или вы хотите сказать, что коэффициенты для  8ми мерной системы $a_{000} $... $a_{111} $ не связаны однозначно с шестью коэффициентами $a_1, a_2$ (первой сферы) $b_1, b_2$ (второй сферы) $c_1, c_2$ (третьей сферы)?

-- 12.12.2022, 22:15 --

Gickle в сообщении #1573503 писал(а):

Иными словами, таких состояний, что $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = (\alpha_1 |0 \rangle + \beta_1 |1 \rangle) \otimes (\alpha_2 |0 \rangle + \beta_2 |1 \rangle)$. В таких случаях состояние можно представить в виде двух (в общем случае $n$) сфер Блоха.

а в этом произведении скобки раскрываются?

т. е. к такому виду оно приводится?

Gickle в сообщении #1573503 писал(а):

состояние имеет вид $|\psi\rangle = \alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle + \alpha_{10} |10\rangle + \alpha_{11} |11\rangle$.

[mihaild]

granit201z в сообщении #1573597 писал(а):

Или вы хотите сказать, что коэффициенты для 8ми мерной системы $a_{000},\ldots, a_{111} $ не связаны однозначно с шестью коэффициентами $a_1, a_2$ (первой сферы) $b_1, b_2$ (второй сферы) $c_1, c_2$ (третьей сферы)?

Не связаны. Если система описывается "шестью коэффициентами" (подсистемы независимы), то её состояние имеет вид

$$(a_1 |0\rangle + a_2 | 1 \rangle) \otimes (b_1 |0\rangle + b_2 | 1 \rangle) \otimes (c_1 |0\rangle + c_2 | 1 \rangle) = (a_1 b_1 c_1)|000\rangle + (a_1 b_1 c_2)|001\rangle + \ldots$$

Т.е. $a_{000} = a_1 b_1 c_1$, $a_{001} = a_1 b_1 c_2$ и т.д. Это не произвольное состояние, например в нём обязательно будет $a_{000} \cdot a_{111} = a_{001} \cdot a_{110}$. Соответственно состояние системы, для которого последнее равенство не выполнено, нельзя выразить через состояния подсистем по отдельности.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573606 писал(а):

Это не произвольное состояние, например в нём обязательно будет $a_{000} \cdot a_{111} = a_{001} \cdot a_{110}$. Соответственно состояние системы, для которого последнее равенство не выполнено, нельзя выразить через состояния подсистем по отдельности.

Круто!
Но тем не менее оно устойчивое? Т. е. определенным состояниям 3-х подсистем соответствует определенное 8-ми мерное состояние (пусть даже и невычислимое простым перемножением) ? Или нет?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1573609 писал(а):

Но тем не менее оно устойчивое?

Что значит "устойчивое"?

granit201z в сообщении #1573609 писал(а):

Т. е. определенным состояниям 3-х подсистем соответствует определенное 8-ми мерное состояние (пусть даже и невычислимое простым перемножением) ?

Я же написал, какое состояние всей системы соответствует набору состояний подсистем, когда они независимы.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573612 писал(а):

Я же написал, какое состояние всей системы соответствует набору состояний подсистем, когда они независимы

я запутался.
правильно ли я понимаю, что бывает 2 варианта?:
1)подсистемы независимы - система не произвольна.
2)система произвольна - подсистемы зависимы

я про случай, когда независима (т. е. произвольна) система. Отдельные кубиты при этом описываются каким то состоянием типа:

$$a_1 |0\rangle + a_2 | 1 \rangle $$

?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1573614 писал(а):

система произвольна - подсистемы зависимы

granit201z в сообщении #1573614 писал(а):

когда независима (т. е. произвольна) система

Тут где-то как минимум опечатка.

В общем случае, когда кубит является часть системы, говорить о его состоянии нельзя. Если у отдельного кубита состояния $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (и их комбинации), то у системы из 3х кубитов состояния $0\rangle\otimes |0\rangle\otimes |0\rangle$ (ну и с другими числами), которые можно записывать как $|000\rangle$ (и понятно опять же их комбинации).
Если состояние имеет вид $(a_1 |0\rangle + a_2 | 1 \rangle) \otimes (b_1 |0\rangle + b_2 | 1 \rangle) \otimes (c_1 |0\rangle + c_2 | 1 \rangle)$, то кубиты в этом состоянии независимы, и вся система ведет себя как если бы каждый кубит был сам по себе.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573615 писал(а):

Тут где-то как минимум опечатка.

наверное я чего-то недопонимаю, но я не опечатывался. я имел в виду, что система независима от своих подсистем, т. е. тот случай, когда $a_{000} \cdot a_{111} \ne a_{001} \cdot a_{110}$.

-- 13.12.2022, 11:22 --

mihaild в сообщении #1573615 писал(а):

Если у отдельного кубита состояния $|0\rangle$ и $|1\rangle$ (и их комбинации), то у системы из 3х кубитов состояния $0\rangle\otimes |0\rangle\otimes |0\rangle$ (ну и с другими числами), которые можно записывать как $|000\rangle$ (и понятно опять же их комбинации).

здесь под "комбинациями" вы имеете в виду комбинации нулей и единиц в скобках Дирака или комбинации коэффициентов при них?

-- 13.12.2022, 11:40 --

а как быть с системой из двух запутанных кубитов? ведь если проводится измерение одного из кубитов, то он сколлапсирует в состояние, допустим, $|0\rangle$. Тогда второй должен бы автоматически дать при измерении состояние $|1\rangle$. Тогда как может появиться такое состояние всей системы, как:
$|\psi\rangle = \alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle + \alpha_{10} |10\rangle + \alpha_{11} |11\rangle$, с ненулевыми коэффициентами при $|00\rangle$ и $|11\rangle$?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1573638 писал(а):

я имел в виду, что система независима от своих подсистем

Такого понятия вообще нет. Можно говорить о независимости подсистем друг от друга. Что называют просто "подсистемы независимы".

granit201z в сообщении #1573638 писал(а):

здесь под "комбинациями" вы имеете в виду комбинации нулей и единиц в скобках Дирака или комбинации коэффициентов при них?

Комбинации коэффициентов. Т.е. у нас суммы вида $x_{000} |000\rangle + x_{001}|001\rangle + \ldots$.

granit201z в сообщении #1573638 писал(а):

ведь если проводится измерение одного из кубитов, то он сколлапсирует в состояние, допустим, $|0\rangle$. Тогда второй должен бы автоматически дать при измерении состояние $|1\rangle$

Второе предложение не следует из первого в общем случае. Следует только если начальное состояние имело вид $a|01\rangle + b|10\rangle + c|11\rangle$.

granit201z в сообщении #1573638 писал(а):

Тогда как может появиться такое состояние всей системы, как:
$|\psi\rangle = \alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle + \alpha_{10} |10\rangle + \alpha_{11} |11\rangle$, с ненулевыми коэффициентами при $|00\rangle$ и $|11\rangle$?

Как это устроено у физиков - не знаю. В квантовых вычислениях считается что нам доступны унитарные преобразования векторов состояния - либо произвольные, либо некоторые специальные. Через них, в любом случае, выражается (хотя бы приближенно, но для так называемого стандартного базиса (просто некоторый набор операторов) - и точно), например, оператор, который из состояния $|00\rangle$ делает состояние $\frac{\sqrt 2}{2} |00\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |11\rangle$ (на самом деле не совсем так, там еще могут понадобиться дополнительные кубиты, в которых изначально 0, а в конце неважно что, но в данном случае неважно).

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573647 писал(а):

Второе предложение не следует из первого в общем случае. Следует только если начальное состояние имело вид $a|01\rangle + b|10\rangle + c|11\rangle$.

Несколько дней я честно пытался переварить эту информацию, но так и не смог.
Вот в википедии, например, написано:

Цитата:

Ква́нтовая запу́танность— квантовомеханическое явление, при котором квантовые состояния двух или большего числа объектов оказываются взаимозависимыми. Например, можно получить пару фотонов, находящихся в запутанном состоянии, и тогда если при измерении спина первой частицы её спиральность оказывается положительной, то спиральность второй всегда оказывается отрицательной, и наоборот.

Как исходя из этого возможно прийти к четырем ненулевым коэффициентам?

-- 18.12.2022, 15:09 --

mihaild в сообщении #1573647 писал(а):

Через них, в любом случае, выражается (хотя бы приближенно, но для так называемого стандартного базиса (просто некоторый набор операторов) - и точно), например, оператор, который из состояния $|00\rangle$ делает состояние $\frac{\sqrt 2}{2} |00\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |11\rangle$ (на самом деле не совсем так, там еще могут понадобиться дополнительные кубиты, в которых изначально 0, а в конце неважно что, но в данном случае неважно).

кажется понял. Вы имеете ввиду, что неважно, что при рождении спутанной пары у нее 2 коэффициента нулевые, после действия на нее оператора все коэффициенты изменятся, в том числе нулевые изменятся на ненулевые?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1574297 писал(а):

Как исходя из этого возможно прийти к четырем ненулевым коэффициентам?

Исходя из процитированного вами - никак, там ни слова про коэффициенты.
В общем случае - берете и пишете произвольные (с суммой квадратов модулей равной единице) коэффициенты. Просто конкретная ваша "взаимозависимость" вида "если первый кубит дал $0$, то второй даст $1$" как раз означает "коэффициент при $|00\rangle$ равен нулю" - квадрат модуля этого коэффициента это ровно вероятность того, что оба кубита оказались нулевыми, и вы потребовали, чтобы этого не происходило.

granit201z в сообщении #1574297 писал(а):

после действия на нее оператора все коэффициенты изменятся, в том числе нулевые изменятся на ненулевые?

Да. И тут опять же ничего квантово-специфичного нет.

[granit201z]

А нельзя ли использовать импульс в качестве трехкубитного кубайта с базисами:
$ \left\lvert-p_x\right\rangle, \left\lvert+p_x\right\rangle $;
$ \left\lvert-p_y\right\rangle, \left\lvert+p_y\right\rangle $;
$ \left\lvert-p_z\right\rangle, \left\lvert+p_z\right\rangle $;
?

[mihaild]

А чему соответствует, хотя бы, состояние $\frac{\sqrt 2}{2} |-p_x\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_x\rangle$?

[granit201z]

mihaild в сообщении #1574345 писал(а):

А чему соответствует, хотя бы, состояние $\frac{\sqrt 2}{2} |-p_x\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_x\rangle$?

Ну допустим атом испускает фотон. И
$\frac{\sqrt 2}{2} |-p_x\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_x\rangle$
означает, что вероятность обнаружить $x$-компоненту импульса, например, атома отрицательной $50\%$. Такая же вероятность обнаружить ее положительной.
Вообще при рождении пары "атом-фотон" ее состояние должно описываться:
$\frac{\sqrt 2}{2} |-p_x\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_x\rangle$
$\frac{\sqrt 2}{2} |-p_y\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_y\rangle$
$\frac{\sqrt 2}{2} |-p_z\rangle + \frac{\sqrt 2}{2} |+p_z\rangle$
что означает, что импульсы частиц равновероятно направлены во все стороны пространства и противоположны друг относительно друга.
Оператором, воздействующим на такие системы могут выступать процессы изменяющие импульс.
Ну, по крайней мере, я себе это так представляю

[mihaild]

Про импульсы квантовых частиц (и вообще способы реализации кубитов) я знаю очень мало, тут нужен кто-то знающий физику.