2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дробь с целой частью
Сообщение10.12.2022, 15:10 


26/08/11
2083
Найти все $n \in \mathbb{N}:\;\; \dfrac{n^2+2}{\lfloor \sqrt n \rfloor^2+1} \in \mathbb{N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробь с целой частью
Сообщение10.12.2022, 16:59 
Заслуженный участник


20/08/14
11398
Россия, Москва
Так тут бесконечная серия.
И например $n_{49}=9368680149641031622467693405104826839885616353532931684$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробь с целой частью
Сообщение10.12.2022, 17:24 
Аватара пользователя


07/01/16
1444
Аязьма
Пусть $n=a^2+r,a,r\in\mathbb{N},r\leqslant2a$, тогда $$\dfrac{n^2+2}{\lfloor \sqrt n \rfloor^2+1}=a^2+2r-1+\frac{r^2-2r+3}{a^2+1}$$Поскольку $r\leqslant2a$, дробь может принимать целые значения $1,2,3$, причем $1$ возможно только для $a=1\Rightarrow r=1,n=2$, $2$ вообще не бывает (дискриминант квадратного относительно $r$ уравнения равен $2a^2$), а для $3$ получаем уравнение Пелля $d^2-3a^2=1$, где $d=r-1$ - корень из дискриминанта уравнения $r^2-2r-3a^2=0$. Фундаментальное решение $d=2,a=1$ (оно само не подходит, т.к. не выполняется $r\leqslant2a$), а затем бесконечная серия$$\begin{cases}d_{k+1}=2d_k+3a_k\\a_{k+1}=d_{k}+2a_{k}\end{cases}$$где уже все будет хорошо, $n=24,252,3234,\ldots$ - в дополнение к ранее найденному "одиночному" $n=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробь с целой частью
Сообщение10.12.2022, 17:33 


26/08/11
2083
waxtep, Dmitriy40 Все верно, задача не особо трудная, онa APMO 2013 p.2 Я чуть подправил условие, чтобы решений было. Думаю, так интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробь с целой частью
Сообщение11.12.2022, 00:43 
Аватара пользователя


07/01/16
1444
Аязьма
Shadow в сообщении #1573332 писал(а):
Думаю, так интереснее.
Ага, для меня это приключение было интересным и содержательным. Случай $r=7$ был последним, что я проверил на бумажке (первое нетривиальное $n=24$ соответствует $r=8$) и уже было занес руку над клавиатурой - "не может же число вида $y^2+2$ иметь делитель $x^2+1$", а оно еще как может, только экспоненциально редко, как и должно быть для Пелля. Только последний взгляд на формулу обнажил факт делимости $7^2+2$ на $4^2+1$ :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group