Дробь с целой частью

[Shadow]

Найти все $n \in \mathbb{N}:\;\; \dfrac{n^2+2}{\lfloor \sqrt n \rfloor^2+1} \in \mathbb{N}$

[Dmitriy40]

Так тут бесконечная серия.
И например $n_{49}=9368680149641031622467693405104826839885616353532931684$.

[waxtep]

Пусть $n=a^2+r,a,r\in\mathbb{N},r\leqslant2a$, тогда

$$\dfrac{n^2+2}{\lfloor \sqrt n \rfloor^2+1}=a^2+2r-1+\frac{r^2-2r+3}{a^2+1}$$

Поскольку $r\leqslant2a$, дробь может принимать целые значения $1,2,3$, причем $1$ возможно только для $a=1\Rightarrow r=1,n=2$, $2$ вообще не бывает (дискриминант квадратного относительно $r$ уравнения равен $2a^2$), а для $3$ получаем уравнение Пелля $d^2-3a^2=1$, где $d=r-1$ - корень из дискриминанта уравнения $r^2-2r-3a^2=0$. Фундаментальное решение $d=2,a=1$ (оно само не подходит, т.к. не выполняется $r\leqslant2a$), а затем бесконечная серия

$$\begin{cases}d_{k+1}=2d_k+3a_k\\a_{k+1}=d_{k}+2a_{k}\end{cases}$$

где уже все будет хорошо, $n=24,252,3234,\ldots$ - в дополнение к ранее найденному "одиночному" $n=2$

[Shadow]

waxtep, Dmitriy40 Все верно, задача не особо трудная, онa APMO 2013 p.2 Я чуть подправил условие, чтобы решений было. Думаю, так интереснее.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1573332 писал(а):

Думаю, так интереснее.

Ага, для меня это приключение было интересным и содержательным. Случай $r=7$ был последним, что я проверил на бумажке (первое нетривиальное $n=24$ соответствует $r=8$) и уже было занес руку над клавиатурой - "не может же число вида $y^2+2$ иметь делитель $x^2+1$", а оно еще как может, только экспоненциально редко, как и должно быть для Пелля. Только последний взгляд на формулу обнажил факт делимости $7^2+2$ на $4^2+1$