2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение02.12.2022, 02:18 


18/05/15
697
mihaild, в принципе, можно проверить по индукции, не используя понятие линейной зависимости функционалов. При $n=1$ условие задачи равносильно условию $\ker f = \ker f_1$. Для $n=2$ либо $\ker f_1=\ker f_2$ либо $\ker f_1\ne \ker f_2$. Первый вариант очевиден. Во втором существуют вектора $e_1, e_2$ такие, что $f_i(e_j)=\delta_{ij}$. Пусть верно для $k$, проверим для $k+1$. Возможны два варианта. Либо ядро никакого из ф-лов семейства $f_1,...,f_{k+1}$ не содержит пересечение ядер остальных ф-лов этого семейства, и тогда существуют такие $e_1,...,e_{k+1}$, что $f_i(e_j)=\delta_{ij}$. Либо для некоторого $m, 1\le m\le k+1,$ ядро ф-ла $f_m$ содержит пересечение ядер остальных ф-лов из семейства $f_1,...,f_{k+1}$, и тогда $f_m$ можно представить в виде линейной комбинации остальных ф-лов этого семейства, а значит и $f$ - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение05.12.2022, 02:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10815
Crna Gora
Мы рассматриваем конечномерный случай и отождествляем $L$ и $L^{**}$.
Пусть $F=\operatorname{span}\{ f_1,...,f_n\}\subset L^*$.
Пусть $K$ — подпространство таких векторов $x\in L$, что $f(x)=0$ для любого $f\in F$. Тогда $K=F^0$, т.е. $K$ — аннулятор $F$.
Пусть $g\in L^*$ и $g(x)=0$ для любого $x\in K$. Тогда $g\in K^0=(F^0)^0$.
Поскольку аннулятор аннулятора $F$ есть $F$, функционал $g$ является линейной комбинацией $f_1,...,f_n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group