Пределы сумм винеровского процесса

[Kuga]

Как можно решить и строго обосновать следующие задачи:

Найти предел в $L^2$ последовательностей когда $n\to \infty$:

$$ \sum_{i=1}^n\frac{t}{n}\left(W(\tfrac{it}{n})-W(\tfrac{(i-1)t}{n})\right) $$

$$ \sum_{i=1}^n\left(W(\tfrac{it}{n})-W(\tfrac{(i-1)t}{n})\right)^5 $$

где $W(t)$ стандартный винеровский процесс.

Насколько я понимаю, первый решается тривиально, так как сумма телескопическая, получаем

$$ \frac{t}{n}(W(t)-W(0))\to 0~~ \text{when} ~~ n\to \infty. $$

Это правильно? Если нет, то какой будет правильный ответ?

Второе совершенно непонятно как решать. Даже какой будет ответ, сложно угадать (может быть 0 как и первый?). Мне бы понять главное стратегию решения, какие теоремы использовать...

[ShMaxG]

Kuga в сообщении #1572014 писал(а):

Это правильно?

Да.

Kuga в сообщении #1572014 писал(а):

Второе совершенно непонятно как решать.

Во-первых нужно заметить, что это сумма пятых степеней приращений, а приращения все независимы в совокупности. Во-вторых, сходимость по $L_2$ если есть, то будет туда же, куда и сходимость по распределению. Я бы попробовал посмотреть, куда сходится по распределению, связь со сходимостью характеристической функции посмотрел.

[Kuga]

т.е. получается чисто используя ЦПТ можно решить?
Случайная величина

$$ X_n=\sum_{i=1}^n\left(W(\tfrac{it}{n})-W(\tfrac{(i-1)t}{n})\right)^5 $$

как сумма $n$ независимых с.в. $W(\tfrac{it}{n})-W(\tfrac{(i-1)t}{n})$ будет стремиться к нормальному распределению $N(\mu;\sigma^2)$. Имеем

$$ W(\tfrac{it}{n})-W(\tfrac{(i-1)t}{n})\sim N(0; \sigma_0^2), \qquad \sigma_0^2=\frac{t}{n} $$

Поэтому $\mu=E(X_n)=0$ (так как нечетные моменты винеровского процесса равны 0), и дисперсия

$$ \sigma^2=D(X_n)=n\cdot \int_{-\infty}^\infty\frac{x^{10}}{\sqrt{2\pi\sigma_0^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma_0^2}}dx=945\frac{t^5}{n^4}\to 0,~~n\to\infty $$

Ответ: 0 ?

[ShMaxG]

Похоже на то. По сути мы просто проверили, что сумма с.к.-сходится к 0 посмотрев на $\mathbb{E}X_n^2$, так что ЦПТ в итоге можно и не упоминать.

[Kuga]

Все понятно, спасибо. Тему можно закрыть.