2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение23.11.2022, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для тех, кто знако́м с производящими функциями, сказанного вполне достаточно. Если производящей функцией для $a_n$ является $f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n$, то производящей функцией для $\sum_{k=0}^{n}a_k$ является $\frac{f(t)}{1-t}$. В данном случае нам просто повезло, что $f(t)=(1-t)^{-1/2}$. Более общо, если $f(t)=(1-t)^{\alpha}$, то есть $a_n=(-1)^n\binom{\alpha}{n}=(-1)^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dotsm(\alpha-n+1)}{n!}$, то $\frac{f(t)}{1-t}=(1-t)^{\alpha-1}$, поэтому получаем тождество
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{\alpha}{k}=(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}.$$
Если $\alpha$ полуцелое, биномиальный коэффициент можно преобразовать. В нашем случае $\alpha=-1/2$, так что нас интересует
\begin{align*}
(-1)^n\binom{-3/2}{n}&=(-1)^n\frac{(-3/2)(-5/2)\dotsm(-n-1/2)}{n!}=\frac{3\cdot5\cdot\dotsm\cdot(2n+1)}{2^nn!}\\
&=\frac{(2n+1)!!}{2^nn!}=\frac{(2n+1)!}{2^nn!\cdot(2n)!!}=\frac{(2n+1)!}{2^nn!\cdot2^nn!}=\frac{(2n+1)!}{4^nn!^2}=\frac{2n+1}{4^n}\binom{2n}{n}.
\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение28.11.2022, 19:21 


13/11/22
10
RIP, ну, я знаком немного с производящими функциями, но мне лично сказанного было не достаточно. Поскольку мне не была знакома вот эта формула: $\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$. Вы правы, конечно, в чем-то. Я должен был догадаться, что $(1-t)^{-1/2}$ - это бином Ньютона, и дальше копать куда-то в сторону биномиальных коэффициентов с действительными аргументами.

С другой стороны, вот эта ваша формула: $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{\alpha}{k}=(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}.$$ просто раскладывает биномиальный коэффициент произвольного аргумента в конечный ряд. Формула, конечно, очень полезная, но из нее никак не следует, что глядя на $(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$, я должен был увидеть тут биномиальный коэффициент. Наоборот, я сначала должен был его увидеть, а потом уже воспользоваться этой формулой.

И действительно, формула $\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$ существует для единственного частного случая $\alpha=-1/2$. В этом смысле действительно повезло, что кто-то узнал эту формулу и вспомнил, что для нее существует производящая функция. Чтобы было более понятно, приведу такой пример: попробуйте найти производящую функцию для последовательности {$(\frac{-1}{3})^n\binom{3n}{n}$}. Весь ваш громоздкий мат.аппарат вам в этом не поможет, хотя формула, очевидно, изменилась весьма незначительно. Потому что аппарат применяют, когда производящая функция уже найдена.

Мне показалось, что Sergic Primazon пишет с претензией на какой-то общий метод решения этой задачи. Хотя какой может быть общий метод, если производящую функцию нужно УГАДЫВАТЬ! А если в любом случае приходится угадывать, можно "угадать" и более простое решение. Если правильно угадать направление, в котором следует двигаться.

В любом случае, спасибо за помощь! Это и правда было полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение29.11.2022, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Random Drifter в сообщении #1571767 писал(а):
попробуйте найти производящую функцию для последовательности {$(\frac{-1}{3})^n\binom{3n}{n}$}
Допустим, я найду:
$$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{3n}{n}x^n=\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{4-27x}}\left(\sqrt[3]{\sqrt{1-\frac{27x}{4}}+\sqrt{-\frac{27x}{4}}}+\sqrt[3]{\sqrt{1-\frac{27x}{4}}-\sqrt{-\frac{27x}{4}}}\,\right), &x\in(-4/27,0),\\
\frac{2}{\sqrt{4-27x}}\cos\left(\frac{\arcsin\sqrt{27x/4}}{3}\right), &x\in(0,4/27).
\end{cases}$$
Для Вашей последовательности вместо $x$ нужно подставить $-x/3$.

Более общо, для любого $m\in\mathbb{N}$ функция $y=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{mn}{n}x^n$ является решением уравнения $m$-й степени $x(my)^m=(y-1)\bigl((m-1)y+1\bigr)^{m-1}$ (которое с помощью дробно-линейной замены $z=\frac{my}{(m-1)y+1}$ сводится к $xz^m=z-1$, так что на хороший ответ при $m>2$ рассчитывать не приходится).

Random Drifter в сообщении #1571767 писал(а):
Мне показалось, что Sergic Primazon пишет с претензией на какой-то общий метод решения этой задачи.
Он писал решение конкретной задачи. Да, ему повезло, что он узнал производящую функцию. Но когда ответ дан, проверить его уже легко. Здесь олимпиадный раздел, поэтому разжёвывать всё до последней буквы не принято.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group