RIP, ну, я знаком немного с производящими функциями, но мне лично сказанного было не достаточно. Поскольку мне не была знакома вот эта формула:
![$\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$ $\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/8/bf8a1eab1ad988492f49710a973e2e4382.png)
. Вы правы, конечно, в чем-то. Я должен был догадаться, что
![$(1-t)^{-1/2}$ $(1-t)^{-1/2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e532054581c33687244f8766a5f95a82.png)
- это бином Ньютона, и дальше копать куда-то в сторону биномиальных коэффициентов с действительными аргументами.
С другой стороны, вот эта ваша формула:
![$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{\alpha}{k}=(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}.$$ $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{\alpha}{k}=(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/f/c0fc436a44b06618068c40c2f78afeae82.png)
просто раскладывает биномиальный коэффициент произвольного аргумента в конечный ряд. Формула, конечно, очень полезная, но из нее никак не следует, что глядя на
![$(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$ $(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/3/9f35e22b3f72a11bb98e674973699b3d82.png)
, я должен был увидеть тут биномиальный коэффициент. Наоборот, я сначала должен был его увидеть, а потом уже воспользоваться этой формулой.
И действительно, формула
![$\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$ $\binom{-1/2}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/8/bf8a1eab1ad988492f49710a973e2e4382.png)
существует для единственного частного случая
![$\alpha=-1/2$ $\alpha=-1/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/9/b09eeb148b03c136a0b8c1bedb8aa96982.png)
. В этом смысле действительно повезло, что кто-то узнал эту формулу и вспомнил, что для нее существует производящая функция. Чтобы было более понятно, приведу такой пример: попробуйте найти производящую функцию для последовательности {
![$(\frac{-1}{3})^n\binom{3n}{n}$ $(\frac{-1}{3})^n\binom{3n}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d81b8ddfad297c8bbca7e4f62c739cb082.png)
}. Весь ваш громоздкий мат.аппарат вам в этом не поможет, хотя формула, очевидно, изменилась весьма незначительно. Потому что аппарат применяют, когда производящая функция уже найдена.
Мне показалось, что
Sergic Primazon пишет с претензией на какой-то общий метод решения этой задачи. Хотя какой может быть общий метод, если производящую функцию нужно УГАДЫВАТЬ! А если в любом случае приходится угадывать, можно "угадать" и более простое решение. Если правильно угадать направление, в котором следует двигаться.
В любом случае, спасибо за помощь! Это и правда было полезно.