2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 18:46 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
В начальный момент времени $X=0$. Каждую секунду к $X$ равновероятно прибавляют 1 или $-1$. Найти $E(|X|)$ через $n$ секунд.

Это переформулировка задачи из вступительного экзамена в ШАД 21 мая 2016 г.

Пусть $a_n$ - искомая величина. Я нашёл, что $$a_{2n+2}=a_{2n+1}=\frac{C_{2n}^n(2n+1)}{2^{2n}}.$$
Для решения задачи понадобилось тождество $$\sum_{k=0}^nC_{2n+1}^{n-k}(2k+1)=C_{2n}^n(2n+1),$$ обнаруженное с помощью oeis.org.
Наверняка у этой задачи есть короткое комбинаторное решение...

-- 11.05.2019, 21:42 --

ihq.pl
Вы невнимательно прочитали условие!
Речь идёт о модуле с.в.
То, что $E(X)=0$, очевидно. А нужно найти $E(|X|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 20:55 


02/05/19
396
В обозначениях В. Феллера ожидание равно $$\sum\limits_{0}^{n}2xp_{n,x}$$. (Здесь «$p_{n,x}$» — вероятность того, что в момент времени $n$ величина принимает значение $x$) Я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 21:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Connector
Какая величина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 22:34 


02/05/19
396
Цитата:
Какая величина?

Величина $X$. Вероятность того, что модуль $X$ принимает значение $x$ равна сумме вероятности того, что $X$ равна $x$ и того, что $X$ равна $-x$. Две последние вероятности совпадают и равны $p_{n,x}$.

(Считаю, что здесь удобно применить модель случайного блуждания).
UPD Как указал arseniiv, здесь мы и имеем целочисленное случайное блуждание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 22:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не просто удобно, это и есть случайное блуждание по $\mathbb Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 07:04 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Connector
Вопрос в том, как свернуть вашу сумму.
И можно ли получить окончательный результат из каких-либо иных комбинаторных соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 08:21 


02/05/19
396
Как вариант: найти вероятность того, что в момент $n$ значение $X$ лежит между $x$ и $-x$. Обозначим эту вероятность через $p_{x}$; тогда модуль $X$ равен $x$ с вероятностью $p_{x+1}-p_{x}$... Но как найти $p_{x}$ (это ещё, думаю, несложно) и что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 12:49 


18/05/15
697
Alexander Evnin в сообщении #1392377 писал(а):
ihq.pl
Вы невнимательно прочитали условие!
Речь идёт о модуле с.в.
То, что $E(X)=0$, очевидно. А нужно найти $E(|X|)$.

ой..
Проделал с модулем, взяв за исходное вот это
$$2^nE(|X|) = \sum\limits_{k=0}^m(n-2k)C_n^k + \sum\limits_{k=m+1}^{n}(2k-n)C_n^k, \quad m=\lfloor n/2\rfloor$$
и получил другой результат: если $n=2m$ то
$$E(|X|)   =  \frac{nC_n^m}{2^n}$$
хотя, надо проверить еще раз...

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 13:55 


18/05/15
697
проверил. Если исходное верно, то всё вроде получается неплохо
$$2^nE(|X|) = nA  + 2B,$$
где
$$A = \sum\limits_{k=0}^mC_n^k - \sum\limits_{k=m+1}^{n}C_n^k, \quad B = \sum\limits_{k=m+1}^{n}kC_n^k- \sum\limits_{k=0}^mkC_n^k.$$
Переписываем $A$:
$$A = \sum\limits_{k=0}^mC_n^{m-k} - \sum\limits_{k=1}^{n-m}C_n^{m+k}.$$
Если $n=2m$, то
$$A = C_n^m+\sum\limits_{k=1}^mC_n^{m-k} - \sum\limits_{k=1}^{m}C_n^{m+k}=C_n^m,$$
а $B=0$, потому что
$$B = n\left(\sum\limits_{k=m+1}^{n}C_{n-1}^{k-1}- \sum\limits_{k=1}^mC_{n-1}^{k-1}\right) = n\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}C_{n-1}^{m+k}- \sum\limits_{k=0}^{m-1}C_{n-1}^{m-1-k}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 14:29 


30/03/08
196
St.Peterburg
$M_{2n+1}=p_0+M_{2n}\ , \ M_{2n+2}=M_{2n+1}\ $ , где $\ p_0=\dfrac{C_{2n}^n}{4^n}$ - вероятность вернуться в $0$.

$$M_{2n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{2k}^k}{4^k}= \dfrac{(2n+1)C_{2n}^n}{4^n}$$
- коэффициент при $t^n$ в разложении $f(t)= \dfrac{1}{\sqrt{1-t}}(1+t+t^2 + ...)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 15:45 


10/03/16
4216
Aeroport

(Оффтоп)

Alexander Evnin я правильно понимаю, что вот такие вот «простенькие» задачки дают на вступительных экзаменах в ШАД? На кого это рассчитано?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 16:03 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1392551 писал(а):
что вот такие вот «простенькие» задачки дают на вступительных экзаменах в ШАД? На кого это рассчитано?!
Одномерные дискретные случайные блуждания нередко обсуждают на школьных кружках, для сильных математических и околоСS'ных кружков это почти стандартный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 18:08 


10/03/16
4216
Aeroport

(Оффтоп)

Pphantom Задачи по одномерным дискретным блужданиям, такие как расчёт вероятностей поглощения на границах, не говоря уже о чем то более тривиальном, могу решить даже я. Но вот эта конкретно задача, как мне кажется, это уже перебор в плане сложности. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение13.05.2019, 07:54 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Sergic Primazon в сообщении #1392533 писал(а):
$M_{2n+1}=p_0+M_{2n}\ , \ M_{2n+2}=M_{2n+1}\ $ , где $\ p_0=\dfrac{C_{2n}^n}{4^n}$ - вероятность вернуться в $0$.

$$M_{2n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{2k}^k}{4^k}= \dfrac{(2n+1)C_{2n}^n}{4^n}$$
- коэффициент при $t^n$ в разложении $f(t)= \dfrac{1}{\sqrt{1-t}}(1+t+t^2 + ...)$

Я думал в этом же направлении...
Поучительно, как Вы от производящей функции для последовательности $(a_n)$ перешли
к производящей функции для последовательности $(S_n)$, где $S_n=\sum_{k=0}^n a_n$.
Оказывается, достаточно производящую функцию первой последовательности умножить на $\dfrac1{1-x}$.
Спасибо!

-- 13.05.2019, 10:02 --

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1392574 писал(а):
[off]Pphantom Задачи по одномерным дискретным блужданиям, такие как расчёт вероятностей поглощения на границах, не говоря уже о чем то более тривиальном, могу решить даже я. Но вот эта конкретно задача, как мне кажется, это уже перебор в плане сложности. Или нет?

(Оффтоп)

На вступительных экзаменах в ШАД встречаются и более сложные задачи. Посмотрите, например, на 5 задачу экзамена от 27 мая 2017 г. https://efiminem.github.io/supershad/27-05-2017/ Хотя там ответ получить легко, но сложность решения зашкаливает!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение13.05.2019, 17:57 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Как всё-таки непосредственно доказать тождество
$$\sum_{k=0}^nC_{2n+1}^{n-k}(2k+1)=C_{2n}^n(2n+1)?$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group