2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение27.11.2022, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
в книге Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, гл. V, п. 180, с. 386, на рис. 101 проиллюстрирован геометрический смысл дифференциала и частных дифференциалов.
Вложение:
 (Фихтенгольц т 1 с 101).jpg
(Фихтенгольц т 1 с 101).jpg [ 127.98 Кб | Просмотров: 0 ]

Показана поверхность $z = f(x, y)$ (в клеточку). Чтобы не возиться с изысканным шрифтом Фихтенгольца, переобозначим ее $\Phi$. Заштрихованная плоскость - касательная к поверхности в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$, ее переобозначим $\Pi$. Придав переменным приращения $\Delta x, \Delta y$, получим точку $M(x, y, z)$, где $x = x_0 + \Delta x, y = y_0 + \Delta y$, $z = f(x,y)$.

Проведем через точку $M_0$ плоскость $\omega$ параллельно плоскости $xOy$. На рисунке это непоименованная плоскость, намеченная штриховыми линия ми, в которой лежат точки $K, K_1, K_2$. Ниже мы скажем, что это за точки.

Точка $K(x, y, z_0)$ есть проекция точки $M$ на плоскость $\omega$. Очевидно, что $|KM| = z - z_0$, и это полное приращение функции.

Отметим в плоскости $\omega$ точку $K_1(x, y_0, z_0)$. Перпендикуляр к плоскости $\omega$, проведенный в точке $K_1$, пересекается с поверхностью $\Phi$ в точке $M_1(x, y_0, z_0 + \Delta z_x)$, где $\Delta z_x = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$. Таким образом, $|K_1M_1| = \Delta z_x$ - частное приращение функции, соответствующее приращению $\Delta x$.

Перпендикуляр к плоскости $\omega$, проведенный в точке $K_1$, пересекается с касательной плоскостью $\Pi$ в точке $N_1(x, y_0, z_0 + dz_x)$, где $dz_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}\Delta x$ - частный дифференциал по переменной $x$.

Аналогично отметим в плоскости $\omega$ точку $K_2(x_0, y, z_0)$. Перпендикуляр к плоскости $\omega$, проведенный в точке $K_2$, пересекается с поверхностью $\Phi$ в точке $M_2(x_0, y, z_0 + \Delta z_y)$, где $\Delta z_y$ - частное приращение функции, соответствующее приращению $\Delta y$. Правда, при взгляде на верхнюю часть рисунка непросто понять, что точки $M$ и $K_2$ имеют одну и ту же ординату. Нужно опустить взгляд в координатную плоскость, благо автор любезно провел нужные перпендикуляры.

Перпендикуляр к плоскости $\omega$, проведенный в точке $K_2$, пересекается с касательной плоскостью $\Pi$ в точке $N_2(x_0, y, z_0 + dz_y)$, где $dz_y$ - частный дифференциал по переменной $y$.

Недостаток данного рисунка, по моему мнению, заключается в том, что из него совсем не очевидно важное равенство
$$|KN| = |K_1N_1| + |K_2N_2|$$
которое следует из дифференциального исчисления: $dz = dz_x + dz_y$.
Чтобы убедиться, что оно выполняется, нужно приложить к рисунку линейку с делениями. Возможно, автор просто не хотел загромождать и без того сложный рисунок лишними перпендикулярами.

Вопрос: попадался ли уважаемым участникам в каком-нибудь учебном пособии рисунок, на котором это важное равенство подчеркнуто? Если Вы читаете студентам эту тему, считаете ли Вы нужным подчеркивать это равенство графически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение27.11.2022, 17:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Anton_Peplov в сообщении #1571651 писал(а):
Недостаток данного рисунка, по моему мнению, заключается в том, что из него совсем не очевидно важное равенство
$$|KN| = |K_1N_1| + |K_2N_2|$$
которое следует из дифференциального исчисления: $dz = dz_x + dz_y$.

Да нет, очевидно. Вектор $\overset{\longrightarrow}{M_0N}$ равен сумме векторов $\overset{\longrightarrow}{M_0N_1}$ и $\overset{\longrightarrow}{M_0N_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение28.11.2022, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Padawan в сообщении #1571653 писал(а):
Вектор $\overset{\longrightarrow}{M_0N}$ равен сумме векторов $\overset{\longrightarrow}{M_0N_1}$ и $\overset{\longrightarrow}{M_0N_2}$
Сдаюсь. Наверное, хороший студент должен был это увидеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение28.11.2022, 16:48 


04/07/15
137
Не знаю, мне всегда казалось, что подобные примеры лучше показывать на поверхностях, заданных неявными выражениями.
Что касается рисунков, то в наше время их можно получить очень качественно с помощью пакетов компьютерной алгебры, сопровождая соответствующими им буквенными выражениями как на самих рисунках, так и на рабочем поле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение28.11.2022, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Anton_Peplov в сообщении #1571747 писал(а):
Наверное, хороший студент должен был это увидеть.

Данный учебник читал. Рисунок, наверное, видел. Но вряд ли подробно разбирал, что там к чему. Уж слишком много букв. Основная идея понятна. Дифференциал задаёт плоскость, которая касается исходной поверхности. Рассматриваемое равенство, по-видимому, следует из очевидного равенства $(c,a+b)=(c,a)+(c,b)$ (скобки - скалярное произведение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Иллюстрация геометрического смысла дифференциала
Сообщение28.11.2022, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
мат-ламер в сообщении #1571757 писал(а):
Рассматриваемое равенство, по-видимому, следует из очевидного равенства $(c,a+b)=(c,a)+(c,b)$ (скобки - скалярное произведение).
Тот факт, что
Padawan в сообщении #1571653 писал(а):
Вектор $\overset{\longrightarrow}{M_0N}$ равен сумме векторов $\overset{\longrightarrow}{M_0N_1}$ и $\overset{\longrightarrow}{M_0N_2}$
устанавливается "по-школьному": по правилу параллелограмма. А дальше нужно лишь переписать это равенство в аппликатах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group