Оператор массы

[Osmiy]

Если взять ур-ние Шрёдингера для свободной частицы, проинтегрировать его по времени и сделать элементарные преобразования, то получим выражение

$$ i \frac{\hbar}{2} \nabla ^2 \int \limits _t \Psi = m\Psi $$

Сравнивая это выражение с операторным ур-нием на собсвенные значения получаем, что $ \hat M = i \frac{\hbar}{2} \nabla ^2 \int \limits _t $ есть оператор массы свободной частицы.
Этот оператор линеен. Если мнимый интеграл по времени является эрмитовым оператором, то и новый оператор тоже эрмитов. Он коммутирует с импульсом и гамильтонианом (для свободной частицы). Не коммутирует с координатой и моментом.
Т.к. интегрирование это обратное действие дифференцирования, а мнимая производная по времени это энергия, то конструкция оператора массы соотноситься с классической формулой

$$m=\frac{p^2}{2E}$$

Собственные функции оператора массы совпадают с решениями ур-ния Шрёдингера.

Я же гений?!

[warlock66613]

Операторы в квантовой механике определены на нерасслоённом гильбертовом пространстве, пространстве волновых функций, не зависящих от времени $\mathcal H$. Ваш же определён на пространстве траекторий в расслоённом пространстве, пространстве функций $\mathbb R \to \mathcal H$. Если попытаться сделать его "нормальным" оператором, ограничив его на разрешённые траектории (удовлетворяющие уравнению Шрёдингера), то он будет коммутировать со всем (поскольку сведётся к умножению на массу).

Насчёт гениальности ничего не могу сказать, так что просто озвучил мысли по поводу.

[Osmiy]

Т.е. оператор не должен действовать на переменную времени? Первый раз такое условие для квантового оператора встречаю.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1571511 писал(а):

Т.е. оператор не должен действовать на переменную времени?

Не то чтобы "не должен", просто обычно квантовая механика строится так: есть пространство состояний, которые можно представить волновыми функциями от пространственных координат (а также спиновых и других внутренних), есть наблюдаемые — операторы на этом пространстве. Нет "переменной времени", на которую операторы могут "действовать". Это в картине Шрёдингера.(*) В картине Гейзенберга состояния формально есть траектории $\mathbb R \to \mathcal H$, но не любые, а только разрешённые, поэтому пространство таких траекторий изоморфно $\mathcal H$. Оператор в картине Гейзенберга может "действовать на переменную времени", но из-за изоморфизма это чистая формальность.

Но в принципе никто не мешает рассматривать квантовую систему, у которой состояния есть произвольные траектории $\mathbb R \to \mathcal H$, только надо определить скалярное произведение таких траекторий, и проверить что получившееся пространство обладает всеми необходимыми свойствами. Может получиться очень необычная формулировка квантовой механики если это развить. Или может не получиться ничего хорошего. Или всё сразу.

(*) Если точнее, то шрёдингеровское состояние — это пара $(\Psi(\mathbf x), t)$, элемент $\mathcal H \times \mathbb R$, так что оператор может "немножко" "действовать на переменную времени", а именно использовать значение времени $t$, но проинтегрировать волновую функцию по времени — нет, не может.

[Osmiy]

Масса является наблюдаемой величиной. Значит у неё должен быть оператор. Без использования временной части ВФ это сделать не получиться. Иначе масса должна входить в оператор как параметр. Значит надо переформулировать КМ так, чтобы операторам было разрешено действовать на время.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1571513 писал(а):

Значит у неё должен быть оператор.

И он есть. Это оператор умножения на константу $m$.

[Osmiy]

Если у меня есть ВФ частицы, и я хочу узнать её массу, то мне надо знать её массу? Бред же. ВФ полностью содержит информацию о частице, включая и её массу. Но чтобы её подсчитать, придётся проинтегрировать по времени. Поэтому надо принять как постулат мой оператор массы.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1571516 писал(а):

ВФ полностью содержит информацию о частице, включая и её массу.

Нет, конечно. Волновая функция — это состояние системы, квантовый аналог пары (положение, скорость) классической частицы. Масса туда не входит, равно как и заряд и другие атрибуты частицы.

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1571517 писал(а):

Волновая функция — это состояние системы, квантовый аналог пары (положение, скорость) классической частицы. Масса туда не входит, равно как и заряд и другие атрибуты частицы.

Масса входит в ВФ. Потому что через ВФ можно узнать энергию и импульс частицы, а значит и массу частицы.

[warlock66613]

Что качается измерения массы, то это делается так: устраивается комбинированная система "частица + прибор" так, чтобы наблюдаемая этой комбинированной системы совпадала с массой частицы. Вид оператора наблюдаемой будет зависеть от конструкции прибора.

[Osmiy]

По радиусу траектории частицы в магнитном поле можно измерять произвольную массу. Без настройки прибора на конкретную величину.

-- 26.11.2022, 04:00 --

Или по длине волны частицы после разгона в электрическом поле, тоже можно измерять произвольную массу.

[Gickle]

Насчёт массы и нерелятивистской КМ попробуйте почитать вот это. Там ещё вот и ссылка есть на очень хорошо (на первый взгляд) написанную статью в открытом доступе. Если грубо, масса -- это такой инвариант, который (наряду со спином) характеризует, какого рода частицы описывает такая-то волновая функция.

[Osmiy]

Gickle
Статьи сходу не осилил, надо вчитываться и разбираться. Но вот сразу вопрос появляется. Почему спиновый оператор, действующий на спиновую переменную, это нормально, а массовый оператор, действующий на пространственно-временные переменные, это плохо?

[Gickle]

Оператор Казимира (ну или как там математики предпочитают) для спина будет не $\hat{s}_z$ или что-то в таком роде, а $\hat{s}_x^2 + \hat{s}_y^2 + \hat{s}_z^2$. Ну, то есть "спин в квадрате", если простыми словами. И его действие на волновую функцию даёт $s(s+1)$, что, по сути, и определяет спин частицы. Похожим образом и с оператором массы обстоит дело:

warlock66613 в сообщении #1571515 писал(а):

И он есть. Это оператор умножения на константу $m$.

[Osmiy]

Но действие оператора квадрата спина на ВФ не сводится к умножению ВФ на собственное значение оператора. Он действует на спиновую часть ВФ. И только если она равна собственной функции оператора квадрата спина, то результатом является ВФ, умноженная на $s(s+1)$.

-- 26.11.2022, 05:13 --

Вот к какому выводу я пришёл. Нужно в КМ ввести четыре типа наблюдаемых величин:
1)спиновые. Это те, которые связаны со спиновой переменной ВФ. Проекция спина, квадрат спина;
2)пространственные, связанные с координатами. Момент, импульс;
3)временные, связанные с временной переменной. Энергия;
4)пространственно-временные. Масса.

Не, ну я точно гений. Это же потянет на статью?