Странное определение ЛП во Владимирове

[artempalkin]

Купил я себе задачник Владимиров В.С. "Сборник задач по уравнениям мат. физики". Почитал, заметил довольно много небольших опечаток. В издании 2016 года на стр. 55 приведено определение линейного пространства, которое я не поленюсь привести полностью (но иногда буду писать словами формулы):

Комплексным (вещественным) линейным пространством называется множество $M$, для элементов которого определены операции сложения и умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводящие из $M$ и обладающие свойствами:
а) (коммутативность сложения)
б) (ассоциативность сложения)
в) в $M$ существует такой элемент $0$, что $0\cdot f=0$ для любого $f\in M$
г) (распределительный закон сложения чисел относительно умножения на элемент)
д) (распределительный закон сложения элементов относительно умножения на число)
е) $(c_1c_2)f=c_1(c_2f)$
ж) $1\cdot f=f$

Пункт в) - это что-то за рамками здравого смысла. Если предположить, что эта аксиома - это мутировавшая под руками наборщика аксиома о существовании нейтрального относительно сложения элемента ($\theta$), при этом все равно не хватает еще аксиомы о существовании обратного эл-та относительно сложения.

Однако навело меня это все на интересные мысли.

1) Получается, при полном и нормальном наборе аксиом ЛП, можно заменить аксиому о существовании обратного элемента на аксиому, что $0\cdot f=\theta\ \ \forall f\in M$. Действительно, тогда противоположным эл-том к $f$ будет $(-1)\cdot f$:

$f+(-1)\cdot f=1\cdot f +(-1)\cdot f=(1-1)\cdot f=0\cdot f=\theta$

2) может даже случиться, что Владимиров изначально формулировал аксиомы ЛП, заменив аксиому об обратном элементе на аксиому об умножении на $0$. Тогда в его аксиоме в) как бы случайно смешались две аксиомы: о существовании нейтрального элемента и об умножении на $0$.

3) я неоднократно читал, что аксиома а) выводится из других аксиом ЛП (правда, никогда не видел доказательства, и быстро сам доказать не смог). Не следует ли также аксиома о существовании обратного элемента из других аксиом ЛП?

4) в пункте 3) подозреваю, что нет. Но тогда должна по идее существовать структура (контрпример), которая по сути, как я понимаю, является моноидом относительно внутреннего закона композиции (при этом обратный элемент не всегда есть), а также элементы можно умножать на действ. или компл. числа...

[KoppeKToP]

artempalkin в сообщении #1571105 писал(а):

я неоднократно читал, что аксиома а) выводится из других аксиом ЛП (правда, никогда не видел доказательства, и быстро сам доказать не смог).

(Оффтоп)

Можно так. Вначале заметим, что $-u=(-1)u$, т.к. $u+(-1)u=0$. Рассмотрим сумму $u+v-u$. Надо показать, что она равна $v$. С одной стороны, $v-u =(-1)(-(v-u))$ по правилу умножения на элементы поля, с другой стороны, $-(v-u)=-(-u)+(-v)$ (т.к. в любой группе $(a b)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$), что равно $u-v$. Складываем: $u+(-1)(u-v)=u+(-u)+v=v$.

[artempalkin]

KoppeKToP
А почему оффтоп, это же был один из пунктов :)

Да, согласен, по сути мы пользуемся тем, что обращение суммы меняет порядок элементов, а умножение на минус единицу нет, при этом это одно и то же действие (кажется, такой подход немного упрощает ваши рассуждения). Логично, спасибо!

[svv]

artempalkin в сообщении #1571105 писал(а):

1)

Экономится число аксиом, но затемняется связь векторного пространства с "родительским классом" — становится менее очевидно, что векторное пространство — это абелева группа по сложению.

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1571105 писал(а):

Тогда в его аксиоме в) как бы случайно смешались две аксиомы: о существовании нейтрального элемента и об умножении на $0$.

Может не случайно, а он так и задумывал. То, что $\theta$ - нейтральный для сложения элемент также легко доказывается: для любого $f\in M$ имеем

$$ f+\theta=1\cdot f+0\cdot f=(1+0) \cdot f=1\cdot f=f $$

Так что приведённый набор аксиом ЛП равносилен стандартному. Это интересно, но в целом согласен с уважаемым svv, что в определении нужно подчёркивать, что по сложению ЛП - абелева группа.

[iifat]

artempalkin в сообщении #1571105 писал(а):

в $M$ существует такой элемент $0$, что $0\cdot f=0$ для любого $f\in M$

Явная ж описка, не? Получается, что и $0$, и $f$ принадлежат $M$, хотя для элементов $M$ умножение не определено.

[artempalkin]

iifat в сообщении #1571281 писал(а):

Явная ж описка, не? Получается, что и $0$, и $f$ принадлежат $M$, хотя для элементов $M$ умножение не определено.

Я тоже так подумал, и поэтому написал, что

artempalkin в сообщении #1571105 писал(а):

Пункт в) - это что-то за рамками здравого смысла.

Но теперь понимаю, что первый $0$ - подразумевается число, а второй $0$ - это элемент пространства. Тогда к некоторому удивлению это будет, как написал Padawan, равносильная стандартной система аксиом. Причем я такую встречаю впервые. Век живи...

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Для предотвращения таких казусов рекомендуется набирать скаляры и векторы разными шрифтами или с разной жирностью. Тогда два нуля не перепутаешь.

[artempalkin]

Anton_Peplov в сообщении #1571288 писал(а):

Для предотвращения таких казусов рекомендуется набирать скаляры и векторы разными шрифтами или с разной жирностью. Тогда два нуля не перепутаешь.

вопрос не ко мне, а к Владимирову, у него нету никаких жирных шрифтов

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1571304 писал(а):

вопрос не ко мне, а к Владимирову, у него нету никаких жирных шрифтов

Может быть, они и были в старых изданиях. Сейчас зачастую очень неряшливо переиздают старые физико-математические книги, с множеством опечаток в формулах и т.д.