THC писал(а):
В журнале "Кванте" имеется такая задача:
М1861
Точки в количестве 2n+1 разделили окружность на 2n+1 равных дуг, где n>1. Среди точек n+1 - красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.
Не знаю, как это доказывается математически, но на уровне логических рассуждений можно прийти к следующему:
Т.к. расстояние (в дугах) между двумя некрасными вершинами по одному из направлений (по часовой стрелке или против) нечетно, а по другому направлению - четно, то нельзя расставить некрасные вершины таким образом, чтобы ни одна пара из них не была бы симметрична одной из красных вершин. В противном случае, заполняя середины этих четных расстояний некрасными вершинами, получаем все вершины многоугольника некрасные (как в цепной реакции).
Если имеется красная вершина, симметричная двум некрасным, то соответственно, симметрично ее имеется, как минимум, одна пара красных вершин (в виду дефицита некрасных), с которой и получится равнобедренный треугольник.
Добавлено спустя 25 минут 26 секунд:
Что-то наврал.
Если расстояние между двумя некрасными вершинами будет равно одному из делителей числа

(допустим, этот делитель равен

), то можно расставить некрасные вершины так, чтобы ни одна из их пар не была симметрична красной вершине, выполнив некрасными все вершины полученного

-угольника.
Тогда можно рассмотреть все оставшиеся многоугольники

-угольники, минимум в одном из которых, ввиду еще большего дефицита некрасных вершин, обязательно должны быть искомые треугольники.