Другое решение для задачи из "Кванта"

[THC]

В журнале "Кванте" имеется такая задача:
М1861
Точки в количестве 2n+1 разделили окружность на 2n+1 равных дуг, где n>1. Среди точек n+1 - красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.

Решение этой задачи, что было опубликованно в номере журнала за 06/2003 - очень сложное и длинное.
А я нашёл совсем другое решение. Оно в разы короче
Предлагаю вам найти такое решение, как моё. Или другое решение для этой задачи

[maxal]

В соседней теме рассматривается похожая задача - http://dxdy.ru/topic15862-15.html

[THC]

maxal писал(а):

В соседней теме рассматривается похожая задача - http://dxdy.ru/topic15862-15.html

Да, существуют много внешне похожих задач, но их решения совсем разные.
Помню, когда учился в 7 классе я решил вот такую задачу. Она внешне очень похожа на эту, но намного проще:

Точки в количестве 2n+1 разделили окружность на 2n+1 равных дуг, где n>1. Каждая точка имеет один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с одноцветными вершинами

[вздымщик Цыпа]

Для краткости будем считать некрасные точки зелеными.
Проведем прямую через какую-либо красную точку ($A$) и центр. Все остальные точки разбиваются на пары симметричных относительно этой прямой. Если какая-то пара одноцветная, то красный равнобедренный треугольник есть. Т.е. если пара красная, то треугольник есть сразу, а если пара зеленая, то значит есть какая-то пара красная, поскольку нельзя разместить $n$ красных точек по $n-1$ парам по одной.

Рассмотрим случай, когда все пары разноцветные. Ближайшая пара тоже разноцветная, потому одна точка из нее красная ($B$).
Проведем прямую через нее и центр. Аналогично, если какая-то пара симметричных относительно второй прямой одноцветная, то красный равнобедренный треугольник есть. Рассмотрим случай, когда и эти все пары разноцветные.

Занумеруем все точки числами от $-n$ до $n$ по кругу таким образом, что $A$ получает номер $-n$, a $B$ — номер $n$. Для любого $m$, точка с номером $m - 1$ симметрична точке $-m$ относительно второй прямой, а точка с номером $-m+1$ симметрична точке с номером $m$ относительно первой прямой. Таким образом, цвет всех точек определен и он красный для всех $n-2k$, $-n+2k$ и зеленый для $n-2k-1$, $-n+2k+1$. Это означает, что при $n\geqslant 2$ точки $n$, $n-2$ и $n-4$ составляют равнобедренный красный треугольник.

Добавлено спустя 19 минут 59 секунд:

Мнда. Прочитал «Квантовское» решение. Оно даже попроще моего. Причем процентов на 50 совпадает. THC, с нетерпением жду Вашего

[THC]

вздымщик Цыпа, Ваше решение правильное!. Я не думаю «Квантовское» решение попроще вашего.
Своё решение я расскажу позже. Посмотрим ещё другия решения от форума

[TOTAL]

Пусть нет красных равнобедренных треугольников.
Тогда для каждой К-точки найдется ровно одна соседняя с ней К-точка и ровно одна К-точка через одну от неё.
Т.е. точки обязаны располагаться по кругу так : ...ККБККБККБ...
Получилось слишком много (вопреки условию) К-точек!

[THC]

TOTAL писал(а):

Пусть нет красных равнобедренных треугольников.
...и ровно одна К-точка через одну от неё.
Т.е. точки обязаны располагаться по кругу так : ...ККБККБККБ...

Это Вам придётся доказать.
Почему нельзя так: ...ККББ...?

[TOTAL]

THC писал(а):

TOTAL писал(а):

Пусть нет красных равнобедренных треугольников.
...и ровно одна К-точка через одну от неё.
Т.е. точки обязаны располагаться по кругу так : ...ККБККБККБ...

Это Вам придётся доказать.
Почему нельзя так: ...ККББ...?

...ККББ - у выделенноё точки должна быть К-точка через одну от неё.

Вообще, у выделенной точки должна быть ровно одна К-точка через $J, \; J=0, 1,\cdots,$ от неё. Это очевидно.

[Хорхе]

Решение очень похоже на решение Вздымщика Цыпы.

Есть две соседние красные точки.
Нарисуем путь от этих точек, как на картинке (соседние точки внизу, сиреневый).

Если на этом пути есть две подряд красные, все хорошо. Поэтому пусть нет. Но красных должно быть много, потому цвета чередуются, см. картинку. В нашем случае все удачно закончилось и верхняя точка красная, это будет всегда для четных $n$. А нечетные $n$ начинаются с трех, поэтому в этой картинке слева можно взять три "соседние" (на самом деле через одну) красные точки.

Апдейт: Вру, три точки можно взять начиная с $n=5$. То есть в моем решении отдельно надо сказать, что в случае $n=3$ (семиугольник) можно взять две "верхние" красные точки и одну "нижнюю".

[THC]

TOTAL писал(а):

THC писал(а):

TOTAL писал(а):

Пусть нет красных равнобедренных треугольников.
...и ровно одна К-точка через одну от неё.
Т.е. точки обязаны располагаться по кругу так : ...ККБККБККБ...

Это Вам придётся доказать.
Почему нельзя так: ...ККББ...?

...ККББ - у выделенноё точки должна быть К-точка через одну от неё.

Вообще, у выделенной точки должна быть ровно одна К-точка через $J, \; J=0, 1,\cdots,$ от неё. Это очевидно.

Я прекрасно понимаю, что Вы хотите утверждать. Но я не понимаю, почему это очевидно. Вам своё утверждение надо доказать.

[TOTAL]

THC писал(а):

Я прекрасно понимаю, что Вы хотите утверждать. Но я не понимаю, почему это очевидно. Вам своё утверждение надо доказать.

Мы предположили, что красных равнобедренных треугольников нет.
Поэтому две точки, находящиеся на расстоянии $J, \; J=1,2,...,n$ от заданной К-точки не могут быть обе красные.
И не могут быть обе белыми, т.к. всего $n$ различных расстояний.
(вздымщик Цыпа Вам именно об этом уже давно сказал!)

[Батороев]

THC писал(а):

В журнале "Кванте" имеется такая задача:
М1861
Точки в количестве 2n+1 разделили окружность на 2n+1 равных дуг, где n>1. Среди точек n+1 - красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.

Не знаю, как это доказывается математически, но на уровне логических рассуждений можно прийти к следующему:

Т.к. расстояние (в дугах) между двумя некрасными вершинами по одному из направлений (по часовой стрелке или против) нечетно, а по другому направлению - четно, то нельзя расставить некрасные вершины таким образом, чтобы ни одна пара из них не была бы симметрична одной из красных вершин. В противном случае, заполняя середины этих четных расстояний некрасными вершинами, получаем все вершины многоугольника некрасные (как в цепной реакции).

Если имеется красная вершина, симметричная двум некрасным, то соответственно, симметрично ее имеется, как минимум, одна пара красных вершин (в виду дефицита некрасных), с которой и получится равнобедренный треугольник.

Добавлено спустя 25 минут 26 секунд:

Что-то наврал.
Если расстояние между двумя некрасными вершинами будет равно одному из делителей числа $2n+1$ (допустим, этот делитель равен $a$), то можно расставить некрасные вершины так, чтобы ни одна из их пар не была симметрична красной вершине, выполнив некрасными все вершины полученного $ (\dfrac{2n+1}{a})$-угольника.
Тогда можно рассмотреть все оставшиеся многоугольники $ (\dfrac{2n+1}{a})$-угольники, минимум в одном из которых, ввиду еще большего дефицита некрасных вершин, обязательно должны быть искомые треугольники.

[THC]

TOTAL ,теперь я понял. Спасибо.

@Батороев, Здравствуйте !
Я над вашим решением сейчас подумаю.

Добавлено спустя 1 час 58 минут 25 секунд:

Моё решение
Справедливы 2 простых утверждения:
1) Для любой хорды, соединяющей любые 2 точки из (2n+1) заданных точек, всегда существует единственная точка из заданных, которая составляет с двумя концами хорды равнобедренный треугольник.
Эту точку будем называть "соответствующей хорде точкой"
2) Если 2 хорды НЕпараллельны, то 2 соответствующие им точки не совпадают.

Пусть

$$A_1, A_2,...,A_{n+1}$$

- красные точки (по часовой стрелке).
Рассмотрим

$$n$$

красных хорд

$$A_1A_2, A_1A_3,...,A_1A_{n+1}$$

. Эти

$$n $$

хорд попарно непараллельны (есть у них общая точка

$$A_1$$

). Поэтому все

$$n$$

соответствующих им точек - различны. Кроме того, все они должны быть зелёными (иначе имеем равнобедренный треугольник)
Рассмотрим ещё хорду

$$A_2A_{n+1}$$

, соединяющую 2 соседние точки

$$A_1$$

. Эта хорда (красная) пересекает (непараллельна ) все

$$n$$

первых хорд. Соответствующая ему точка тоже должна быть зелёной и, кроме того, она не совпадает ни с одной из

$$n$$

первых зелёных точек.
В итоге имеем

$$(n+1)$$

зелёных точек. Противоречие!

[Батороев]

THC писал(а):

@Батороев,

Это, что обращение, типа - собака Батороев??!!

[THC]

Батороев писал(а):

THC писал(а):

@Батороев,

Это, что обращение, типа - собака Батороев??!!

Такое обращение вообще-то принято в мире Интернетa. Но если Вам не нравится, я извиняюсь, ГОСПОДИН Батороев!