2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Concerning Squares
Сообщение21.11.2022, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вот тут дали школьную задачку (не со спичками) из глубин Ютюба:
Доказать, что $\forall n \;\;\exists m:\;mn=i^2, \;(n+1)(m+1)=j^2$
Всё натурально, конечно.
Ну по недавней привычке поюзал PARI, правдоподобно порассуждал и несложное решение получил. Решил обобщить:
Какова ситуация с $k:\forall n \exists m:\text{ issquare(mn) }\&\& \;\text{issquare(n+k)(m+k)}$
Для $k\in\{1,2,4\}$ дело разрешается формулой
$\forall n\;m=n\left(\dfrac4k\cdot n+3\right)^2$ Например, при $k=4$
$n\cdot n(n+3)^2=\left(n^2+3n\right)^2;\;\;(n+4)\;\cdot\;\left(n(n+3)^2+4\right)=\left(n^2+5n+4\right)^2$
Но как доказать, что для остальных $k$ существуют такие $n$, что для них нельзя подобрать такое $m$, которое в двух произведениях $nm$ и $(n+k)(m+k)$ даёт полные квадраты.
Где вообще подобное изучается? Я ещё продолжаю размышления :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение21.11.2022, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
В некоторых случаях можно строго доказать, что, например, при $k=3; n=1$ квадратных пар не образуется. Ведь для первого произведения подходят только квадраты, то есть $1\cdot m^2=m^2$, но $(1+3)(m^2+3)$ очевидно квадратом быть не может при $m>1$.
А вот для составных $n$ могут быть сюрпризы. При $k=3; n=20$ для первого произведения подойдёт $m=45:\;20\cdot45=30^2$, а для второго первое подходящее число $m=132845:\;20\cdot 132845=1630^2;\;(20+3)(132845+3)=1748^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение21.11.2022, 20:49 


20/04/10
1776
Просто мысли. Если рассмотреть $(x-m)(x-n)=0$, тогда уравнение $x^2-(j^2-i^2-k^2)/k x+i^2=0$ таково, что при заданном $k$, выбрав подходящие $i,j$, получим, что один из корней может быть равен произвольному натуральному числу $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 11:31 


26/08/11
2057
Конечно, для любых $n,k$ решения существуют, причем бесконечно много, если случайно и $n$, и $n+k$ не окажутся точными квадратами.

Хотя бы потому, что $m=n$ удовлетворят условию. Все сводится к обобщенному уравнению Пелля.

Пусть даны $n,k$ такие, что $n=au^2, n+k=bv^2$, где $a,b$ - свободные от квадратов. Это означает, что уравнени Пелля

$bX^2-aY^2=k$ имеет хотя бы одно решение ($X=v,Y=u$) и следовательно будут бесконечно много решений $X_t,Y_t$

и $m=aY_t^2$ будет решение для любого $t$.

Пример: вы проигнорировали $k=3$. Проверим как дела при $n=2,k=3$ Будем искать $m=2y^2$ из уравнения

$5x^2-2y^2=3$ - первое нетривиальное решение $x=7,y=11$. И все $m=2\cdot 11^2$ и есть решение.

Обобщим: если $n$ и $n+k$ являются одновременно квадратами, то решений для $m$ будет конечное число, в противном случае - бессконечное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я, увы, пропустил условие, что второе число должно быть строго больше первого.
Иначе, конечно, $n\cdot n;\; (n+k)\cdot(n+k)$ всегда квадраты.
Но другое условие не забыл: Для данного $\;k:\;\forall n\;\exists m$. Для $k=3$ уже для $n=1$ нет подходящей пары (кроме него самого :-) ).
Впрочем, меня привлекла визуализация этого дела. Вот квадрат $(n\times m)$, где отмечены пары, для которых $n\cdot m$ полный квадрат.
01 *..*....*......*........*..........*............*..............*
02 .*.....*.........*.............*.................*..............
03 ..*........*..............*....................*................
04 *..*....*......*........*..........*............*..............*
05 ....*..............*........................*...................
06 .....*.................*.............................*..........
07 ......*....................*..................................*.
08 .*.....*.........*.............*.................*..............
09 *..*....*......*........*..........*............*..............*
10 .........*.............................*........................
11 ..........*................................*....................
12 ..*........*..............*....................*................
13 ............*......................................*............
14 .............*.........................................*........
15 ..............*............................................*....
16 *..*....*......*........*..........*............*..............*
17 ................*...............................................
18 .*.....*.........*.............*.................*..............
19 ..................*.............................................
20 ....*..............*........................*...................
21 ....................*...........................................
22 .....................*..........................................
23 ......................*.........................................
24 .....*.................*.............................*..........

жалко, что пропорции нарушены. Но я потихоньку осваиваю рисование в PARI :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 13:37 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма

(Оффтоп)

gris в сообщении #1570907 писал(а):
Впрочем, меня привлекла визуализация этого дела.
снегопад и прожектор на вышке
Городницкий писал(а):
В мокром царстве моем теремки по углам,
В драгоценных ошейниках серые волки

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 14:08 


26/08/11
2057
gris в сообщении #1570907 писал(а):
Для $k=3$ уже для $n=1$ нет подходящей пары (кроме него самого :-) )
Кажется понял, вас интересует при каких $k$ для любого $n$ существует хотя бы одно $m$. Тогда

При $k=1,4,4t+2$ - для любого $n$ найдутся бесконечно много $m$

Если $k$ - простое, либо квадрат простого, либо учетверенное простое, либо 16 - существует $n$, для которого не найдется $m \ne n$

В остальных случая для любого $n$ найдется $m \ne n$, но не обязательно больше.

-- 22.11.2022, 13:17 --

gris в сообщении #1570733 писал(а):
Но как доказать, что для остальных $k$ существуют такие $n$, что для них нельзя подобрать такое $m$, которое в двух произведениях $nm$ и $(n+k)(m+k)$ даёт полные квадраты.
Никак, если $k \equiv 2 \pmod 4$, то для любого $n$ найдутся, причем бесконечно много $m>n$ удовлетворяющие условию.

-- 22.11.2022, 13:37 --

Shadow в сообщении #1570930 писал(а):
Никак, если $k \equiv 2 \pmod 4$, то для любого $n$ найдутся, причем бесконечно много $m>n$ удовлетворяющие условию.
А вот тут я ошибся. Подумаем еще...

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 15:48 


26/08/11
2057
Да. Для любого $n$ всегда найдется $m>n$ удовлетворяющее условию тогда и только тогда, когда $k$ не представимо в виде

$a(u^2-v^2)$ для натуральных $a,u,v$. Где $a$ - свободное от квадратов.

Числа вида $4t+2$ не представимы в виде разности квадратов, что и меня немножко заблудило, но с дополнительным множителем уже почти все представимо.

Кроме, как было сказано, $k=\{1,2,4\}$

В противном случае, если $k=a(u^2-v^2)$, можем подобрать в качестве контрапримера $n=av^2$, где $v$ - максимально возможное. Тогда должно выполнятся $m=ax^2$

$n+k=au^2$, следователно должно выполнятся и $m+k=ay^2$, тоесть $ax^2+a(u^2-v^2)=ay^2$

Или $y^2-x^2=u^2-v^2$

Число $u^2-v^2$ может быть представимо разными способами в виде разности квадратов, тоест, какие-то решения для $x,y$ будут, но мы выбрали наибольшее $v$, а значит $(n=av^2) \ge (m=ax^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Concerning Squares
Сообщение22.11.2022, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Shadow, спасибо! Я вдумчиво почитаю. А пока посмотрите, какая у меня картинка:
Изображение
Собственно, задача визуализируется сдвигом бесконечно большой картинки на нужное число пикселей и фотошопными манипуляциями для оставления дважды чорных пикселей :-) Например, для Сдвига на (+1,+1) на этой картинке останется главная диагональ и точки (1,49),(3,48), (48,3) и (49,1)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group