2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение16.11.2022, 11:54 


23/02/12
3147
RIP
Оценка $A(n)=\sum_{p \leq n} \frac{f(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac{\ln(p)}{p}=\ln(n)+O(1)=A_n$ - хорошая, а вот оценка $B^2(n)=\sum_{p \leq n} \frac{f^2(p)}{p}$ - для многих сильно аддитивных функций довольно грубая и хуже $D_n$.

Наверно Вы обратили внимание, что асимптотические оценки вероятностных характеристик для многих аддитивных арифметических функций $f(m),m=1,...,n$ совпадают с соответствующими асимптотическими вероятностными характеристиками сильно аддитивных арифметических функций $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p),m=1,...,n$.

Это связано с тем, что у этих функций одинаковые предельные распределения, как доказывается в монографии Кубилюса. Даже для функций $f(m)=\ln(m)$ и $f^*(m)=\sum_{p|m} \ln(p)$ асимптотики вероятностных характеристик совпадают, хотя они не имеют одинаковых предельных распределений (см. стр.93).

Отсюда следует совпадение асимптотических оценок "почти всюду" у определенного класса аддитивных и сильно аддитивных арифметических функций.

Можно выделить класс мультипликативных и сильно мультипликативных арифметических функций, образованный от указанного класса аддитивных и сильно аддитивных арифметических функций, у которых также совпадают асимптотические оценки "почти всюду".

Это облегчает нахождение асимптотических оценок "почти всюду" у указанных классов аддитивных и мультипликативных арифметических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение16.11.2022, 16:22 


23/02/12
3147
vicvolf в сообщении #1570170 писал(а):
Это облегчает нахождение асимптотических оценок "почти всюду" у указанных классов аддитивных и мультипликативных арифметических функций.
Например, для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ асимптотика мат. ожидания равна $A^*_n=A^*(n)=\ln(n)+O(1)$. Учитывая, что совпадают асимптотики вероятностных характеристик, то асимптотика мат. ожидания для соответствующей аддитивной арифметической функции $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ также равна $A_n=A(n)=\ln(n)+O(1)$.

Асимптотика дисперсии аддитивной арифметической функции $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ равна $D_n=\frac {1}{n}\sum_{m \leq n} |f(m)-A_n|^2=$$\frac {1}{n}\sum_{m \leq n}O(1)=O(n)/n=O(1)$.

Так как совпадают асимптотики вероятностных характеристик, то асимптотика дисперсии сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ равна $D^*_n=D_n=O(1)$.

Поэтому асимптотика "почти всюду" аддитивных арифметических функций $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ и $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ равна $\ln(n)+g(n)$, где $g(n)$ - медленно растущая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.11.2022, 15:47 


23/02/12
3147
mihiv в сообщении #1569110 писал(а):
Должно быть:$\sum \limits _{p|n}f(p)\leq d(n)\cdot \max \limits _{x\in [2,n]}f(x)$
Не смог найти ни одного примера, где такая оценка была бы лучше тривиальной. Можете привести пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.11.2022, 17:04 
Заслуженный участник


03/01/09
1685
москва
vicvolf в сообщении #1570714 писал(а):
Не смог найти ни одного примера, где такая оценка была бы лучше тривиальной.

Это зависит от того, что считать тривиальной оценкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.11.2022, 18:54 


23/02/12
3147
mihiv в сообщении #1570721 писал(а):
Это зависит от того, что считать тривиальной оценкой.
Например, так как $\varphi(n) \leq n$, то $\sum_{p|n} \ln (\varphi(p)) \leq \ln  (\varphi(n)) \leq \ln(n)$ - тривиальная оценка.

По Вашей оценке: $\sum_{p|n} \ln (\varphi(p)) \leq \omega(n) sup_{x\in [2,n]} \ln (\varphi(x))=$$O(\frac {\ln(n)}{\ln\ln(n)}\ln(n))=O(\frac{\ln^2(n)}{\ln\ln(n)})$ - значительно хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.11.2022, 19:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1685
москва
Я ориентировался всего лишь на эту оценку:
vicvolf в сообщении #1569017 писал(а):
Оценка суммы $\sum_{p|n}f(p) \leq \sum_{p \leq n} f(p)$ является грубой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.11.2022, 20:36 


23/02/12
3147
mihiv в сообщении #1570744 писал(а):
Я ориентировался всего лишь на эту оценку:
vicvolf в сообщении #1569017 писал(а):
Оценка суммы $\sum_{p|n}f(p) \leq \sum_{p \leq n} f(p)$ является грубой.
Понял, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение25.11.2022, 17:33 


23/02/12
3147
RIP в сообщении #1569610 писал(а):
vicvolf в сообщении #1569598 писал(а):
А как же оценка "почти всюду"?
Если $f(n)\geqslant0$ и $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)\leqslant C$, то количество слагаемых, больших $K>0$, не превосходит $\frac{CN}{K}$. Выбирая $K=K(N)\to+\infty$, получаем, что для «почти всех» $n$ выполнено $f(n)=O(g(n))$, где $g(n)$ — произвольная неограниченно растущая функция.
Спасибо. А где это утверждение доказано, чтобы сослаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение25.11.2022, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1571464 писал(а):
А где это утверждение доказано, чтобы сослаться?
Не знаю. Это просто тривиальное наблюдение, не требующее особых пояснений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение26.11.2022, 18:56 


23/02/12
3147
RIP
Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:

$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение28.11.2022, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1571569 писал(а):
Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:
$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?
Да, это равносильно очевидному неравенству $\prod_{p|n}\frac{p}{2}\leqslant\frac{n}{2}$ (можно улучшить до $\frac{n}{2^{\omega(n)}}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение29.11.2022, 12:09 


23/02/12
3147
RIP в сообщении #1571760 писал(а):
vicvolf в сообщении #1571569 писал(а):
Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:
$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?
Да, это равносильно очевидному неравенству $\prod_{p|n}\frac{p}{2}\leqslant\frac{n}{2}$

Для меня это не так очевидно. Как я это доказывал.
$\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p})=\sum_{p|n}\ln(\frac{2}{p})$ является сильно аддитивной арифметической функцией, соответствующей аддитивной арифметической функцией $\ln(\frac{\tau(n)}{n})$.
Можно доказать, что если для аддитивной арифметической функции $f$ выполняется условие $f(p^\alpha) \leq f(p)$, где $\alpha \geq 2$, то выполняется: $\sum_{p|n}f(p) \geq f(n)$.
Это условие для аддитивной арифметической функции $f(n)=\ln(\frac{\tau(n)}{n})$ выполняется, поэтому справедливо: $\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p})=\sum_{p|n}\ln(\frac{2}{p}) \geq \ln(\frac{\tau(n)}{n})$.
Отсюда, учитывая, что $\tau(n) \geq 2$, можно записать: $\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p}) \geq \ln(\frac{2}{n})$.
Если начать рассмотрение с сильно мультипликативной функции - $\prod_{p|n}p/2$, то соответствующая ей мультипликативная функция имеет вид $n/\tau(n)$, а не $n/2$.
Для мультипликативной функции $n/\tau(n)$ выполняется условие: $\frac{p^\alpha}{\tau(p^\alpha)} \geq \frac{p}{\tau(p)}$ , где $\alpha \geq 2$, поэтому справедливо: $\prod_{p|n} \frac{p}{2} \leq \frac{n}{\tau(n)}$.
Отсюда, учитывая, что $\tau(n) \geq 2$, можно записать: $\prod_{p|n} \frac{p}{2} \leq \frac{n}{2}$.
RIP в сообщении #1571760 писал(а):
(можно улучшить до $\frac{n}{2^{\omega(n)}}$).
По-моему нельзя, так как $f(p)=p/2$ - возрастающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение29.11.2022, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1571858 писал(а):
Для меня это не так очевидно.
Да просто $\sum_{p|n}\ln\frac{\tau(p)}{p}=\sum_{p|n}\ln\frac{2}{p}=-\ln\left(\prod_{p|n}\frac{p}{2}\right)$. Далее, $\prod_{p|n}\frac{p}{2}=\frac{\prod_{p|n}p}{2^{\omega(n)}}\leqslant\frac{n}{2^{\omega(n)}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение29.11.2022, 15:39 


23/02/12
3147
RIP в сообщении #1571865 писал(а):
vicvolf в сообщении #1571858 писал(а):
Для меня это не так очевидно.
Да просто $\sum_{p|n}\ln\frac{\tau(p)}{p}=\sum_{p|n}\ln\frac{2}{p}=-\ln\left(\prod_{p|n}\frac{p}{2}\right)$. Далее, $\prod_{p|n}\frac{p}{2}=\frac{\prod_{p|n}p}{2^{\omega(n)}}\leqslant\frac{n}{2^{\omega(n)}}$.
Спасибо! Получилась оценка $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}}) \geq \ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n})$.
Если сравнить с оценкой $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}}) \geq \ln(\frac {2}{n})$, поскольку обе оценки находятся в отрицательной области, то получается $\ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n}) \leq \ln(\frac {2}{n})$ и $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}})\geq \ln(\frac {2}{n}) \geq \ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение30.11.2022, 11:45 


23/02/12
3147
RIP
Справедливо ли такое утверждение?
Пусть $g(p)>0$ и $A(n)=e^{\sum_{p \leq p_w(n)}\ln(g(p))}$, тогда:
1. Если $g$ - монотонно убывает, то выполняется следующая оценка сверху:
$\prod_{p|n}g(p) \leq A(n)$,
2. Если $g$ - монотонно возрастает, то выполняется следующая оценка снизу:
$\prod_{p|n}g(p) \geq A(n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group