Лебегова мера

[krum]

В учебнике не-важно-каком дается следующее определение лебеговой $\sigma-$алгебры и меры в $\mathbb{R}^m$

$\sigma-$алгебра $\Sigma$ и мера $\mu:\Sigma\to[0,\infty]$ называются лебеговыми если

1) все открытые множества $\in\Sigma$

2) мера любого шара равна $m-$мерному объему этого шара

3) если $A\subset B\in\Sigma$ и $\mu(B)=0$ то $A\in\Sigma$.

У меня есть сомнения, в том, что это определение однозначно фиксирует меру и сигма-алгебру, а потому, что оно эквивалентно стандартному определению. С другой стороны, если с на этом определении скажем построить теорию пространств Соболева, кто заметит разницу? :) Прошу высказываться.

[mihaild]

Нет, не однозначно - у меры Лебега есть даже инвариантные относительно сдвига продолжения. Но тут не требуется инвариантности, то в некоторых моделях ZFC меру Лебега можно продолжить вообще на все подмножества $\mathbb R$.

[Slav-27]

Мера, соответствующая вашему определению, -- это то же самое, что продолжение меры Лебега (до полной по Лебегу меры). Действительно, она определена и совпадает с лебеговой на шарах, следовательно, и на порождаемой ими $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств, следовательно, и на $\sigma$-алгебре подмножеств, измеримых по Лебегу.

Такие продолжения существуют. Если определять пространства Соболева, то будет заметная разница. Для определённости поговорим про $L^p$, $1\leqslant p<\infty$. В них плотны непрерывные функции с компактным носителем (вообще в соболевских пространствах плотны какие-то понятные классы непрерывных или гладких функций, и это существенным образом используется). Если продолжить меру, то такого свойства полноты, как мне кажется, уже не будет. Можно замкнуть множество непрерывных функций с компактным носителем относительно $L^p$-нормы, но в любом случае ничего принципиально нового таким путём получить нельзя, потому что как банахово пространство пополнение единственно.

[krum]

Понял. Т.е. если добавить

4) множество непрерывных на $\mathbb{R}^m$ функций с компактным носителем плотно в $L^1$

то будет ok?

[Slav-27]

Мне кажется, что да, но я до конца не уверен. Это правда, что если мы продолжаем меру, то у функций, которые были измеримы раньше, интеграл никак не меняется? Если это верно, то получится определение стандартной меры Лебега.

[krum]

Правда, потому, что интеграл от суммируемой функции определяется через аппроксимирующую последовательность ступенчатых функций, а эта последовательность не изменится если что-то еще добавить в сигма-алгебру, и интегралы от ступенчатых функций не изменятся.

[Slav-27]

Вроде бы верно. Значит, $L^1$ после расширения включает в себя во-первых стандартное $L^1$ в виде замкнутого подпространства (оно замкнуто, так как полно) и во-вторых нечто невообразимое (которое непусто: там есть индикаторная функция множества, которое неизмеримо по Лебегу, но имеет конечную новую меру).

[krum]

Короче, вот попытка объяснить интеграл Лебега нематематикам (без доказательств)
https://files.catbox.moe/af4hj2.pdf
Просьба высказываться

[mihaild]

В определении 2 - такие функции обычно называются простыми.
В определении 3 - ИМХО нужно написать, что функции в последовательности ступенчатые. Не определена сходимость почти всюду (а если люди не знают определения меры, то и этого почти точно не знают). Товарищи точно знают, что такое предел при $i, j \to \infty$?

И мне кажется что подобное определение меры Лебега это как определение вещественных чисел через почти-гомоморфизмы. Т.е. да, оно, конечно, определение, но прежде чем с ним что-то делать, нужно доказать, что оно равносильно классическому (через внешнюю и внутреннюю меры).

[krum]

Понял, спасибо.
А разве для доказательства равносильности не достаточно того ,что для непрерывных функций с компактным носителем данный интеграл (из теоремы) совпадает с интегралом Римана , и всюду плотность непрерывных функций, конечно. А доказать, что совпадает с интегралом Римана легко.

[ewert]

mihaild в сообщении #1573203 писал(а):

Не определена сходимость почти всюду (а если люди не знают определения меры, то и этого почти точно не знают).

"Пастернака не читал, но скажу". Множество меры ноль -- понятие гораздо более тривиальное, чем собственно мера Лебега.