Особенность (комплексный анализ)Цитата:
В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:
- Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
- Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
- Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.
Т.е. зависит от контекста.
В контексте простой комплексной плоскости, полюс - особая точка.
В контексте доопределённой комплексной плоскости (сферы Римана), полюс - не особая точка.
Т.о., если сказано найти особые точки функции
![$f(z)$ $f(z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210d22201f1dd53994dc748e9121066482.png)
, а в задачах обычно не говорится на какой комплексной плоскости (обычной или расширенной) рассматривается функция, то сначала должны определиться на какой комплексной плоскости рассматриваем функцию?
Пусть нужно найти особые точки функций
![$f_1(z)=\frac{z+1}{z^2+4}$ $f_1(z)=\frac{z+1}{z^2+4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/8/06878e42c9e08aa160c24649b3cb158982.png)
,
![$f_2(z)=\frac{z^2+1}{z^2+4}$ $f_2(z)=\frac{z^2+1}{z^2+4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/5/ce50023de3d24e2a88cbd05fedb11ac082.png)
,
![$f_3(z)=\frac{z^2+1}{z+4}$ $f_3(z)=\frac{z^2+1}{z+4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/8/a48e96df99c061e09ce40e6dfab4605e82.png)
.
Сначала будем считать, что функции рассматриваются на обычной комплексной плоскости. Нужно ли в этом случае рассматривать точку
![$z=\infty$ $z=\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/00744b7535dd8cf1bb60a3f73d15110282.png)
как особую точку данных функций и будет ли данная точка
![$z=\infty$ $z=\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/00744b7535dd8cf1bb60a3f73d15110282.png)
особой точкой для всех трех функций?