2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечно удаленная точка
Сообщение07.11.2022, 21:21 


03/04/09
103
Россия
Здравствуйте!
Всегда ли бесконечно удаленная точка $z=\infty$ считается особой точкой любой функции $f(z)$ комплексной переменной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение07.11.2022, 21:37 


18/09/21
1669
Есть в ТФКП теорема (не помню, чьего имени): "Если голоморфная функция на расширенной плоскости не имеет особых точек, то эта функция - константа".

Значит для этой константной функции точка на бесконечности - не особая точка (например, для неконстантного многочлена только одна особая точка - полюс на бесконечности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение07.11.2022, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6552
Предлагаю рассмотреть функцию $f(z)= \frac{1}{1+z^2}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение08.11.2022, 10:35 


03/04/09
103
Россия
мат-ламер в сообщении #1569284 писал(а):
Предлагаю рассмотреть функцию $f(z)= \frac{1}{1+z^2}$ .

Данная функция имеет особые точки $z_1=-i$ и $z_2=i$.

Сделаем замену $z=\frac{1}{\xi}$:
$f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1}{1+\left(\frac{1}{\xi}\right)^2}=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}=g(\xi)$ (здесь $\xi=0$ не является особой точкой функции $g(\xi)$).

Разложим функцию $g(\xi)=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}$ в ряд Лорана в окрестности точки $\xi=0$:
$g(\xi)=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}=\xi^2\frac{1}{1+\xi^2}=\xi^2\left(1-\xi^2+(\xi^2)^2-(\xi^2)^3+...+(-1)^n(\xi^2)^n+...\right)=\xi^2-\xi^4+\xi^6-\xi^8+...+(-1)^n\xi^{2n+2}+...$

Сделаем обратную замену
$f(z)= \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^4}+\frac{1}{z^6}-\frac{1}{z^8}+...+(-1)^n\frac{1}{z^{2n+2}}+...$

Если бесконечно удаленная точка $z=\infty$ особая точка данной функции, то она устранимая особая точка. А как понять, является ли она особой точкой ?(

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение08.11.2022, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6552
Nurgali в сообщении #1569313 писал(а):
А как понять, является ли она особой точкой ?(

По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный. Если рассматриваемая функция задана на комплексной плоскости $\mathbb{C} $ , то естественно считать бесконечность устранимой особой точкой этой функции. Если рассматриваемая функция задана на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ , причём в бесконечности мы её доопределяем нулём, то мы можем считать эту функцию аналитической в бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение08.11.2022, 21:59 


03/04/09
103
Россия
мат-ламер в сообщении #1569319 писал(а):
По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный. Если рассматриваемая функция задана на комплексной плоскости $\mathbb{C} $ , то естественно считать бесконечность устранимой особой точкой этой функции. Если рассматриваемая функция задана на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ , причём в бесконечности мы её доопределяем нулём, то мы можем считать эту функцию аналитической в бесконечности.


Тогда конкретные задачи:
1) записать разложения функции $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$ в ряд Лорана в окрестностях особых точек;
нужно ли записать разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки $z=\infty$?
2) для функции $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$ найти все изолированные особые точки и определить их тип;
нужно ли определять тип для точки $z=\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение09.11.2022, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6552
1) Да. 2) Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение09.11.2022, 20:47 


03/04/09
103
Россия
мат-ламер в сообщении #1569423 писал(а):
1) Да. 2) Да.

В учеб. пособии Евграфов М. А. Аналитические функции написано, что "функция $f(z)$ голоморфна в точке $z=\infty$, если функция $g\left(\xi\right)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ голоморфна в точке $\xi=0$".

Рассмотрим функцию $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$. Сделаем замену $\frac{1}{\xi}$:
$f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{\frac{1}{\xi}-4}{\left(\frac{1}{\xi}-1\right)\left(\frac{1}{\xi}+2\right)}=\frac{\xi-4\xi^2}{\left(11\xi\right)\left(1+2\xi\right)}=\frac{4\xi^2-\xi}{\left(\xi-1\right)\left(1+2\xi\right)}=g(\xi).$

Но функция $g(\xi)$ голоморфна (аналитическая функция) в точке $\xi=0$. Следовательно, функция $f(z)$ голоморфна (аналитическая функция) в точке $z=\infty$. Тогда зачем нужно рассматривать точку $z=\infty$ для вышеуказанных задач?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение09.11.2022, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6552
Nurgali в сообщении #1569528 писал(а):
Тогда зачем нужно рассматривать точку $z=\infty$ для вышеуказанных задач?

Во-первых, проще и быстрее рассмотреть, чем в течении длительного времени обсуждать необходимость рассмотрения. Усилия зря не пропадут.
Во-вторых, своё мнение по вопросу я уже высказал:
мат-ламер в сообщении #1569319 писал(а):
По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный

Моё сугубо личное мнение в том, что если вашу функцию доопределить в бесконечности нулём, то она будет там голоморфной. Только она там не доопределена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение11.11.2022, 10:44 


03/04/09
103
Россия
мат-ламер в сообщении #1569533 писал(а):
Во-первых, проще и быстрее рассмотреть, чем в течении длительного времени обсуждать необходимость рассмотрения. Усилия зря не пропадут.


Если правильно понял, то имеется два подхода по отношению бесконечно удаленной точки
1) считают точку $z=\infty$ особой точкой любой функции $f(z)$;
2) считают точку $z=\infty$ особой точкой функции $f(z)$? если точка $\xi=0$ является особой точкой функции $g(\xi)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение11.11.2022, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6552
Nurgali в сообщении #1569699 писал(а):
Если правильно понял, то имеется два подхода по отношению бесконечно удаленной точки
1) считают точку $z=\infty$ особой точкой любой функции $f(z)$;

А можно к вам вопрос? На основании чего у вас возникло такое понимание? Если что, то я и близко к этому ничего не писал. И вроде цитируемый Евграфов тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение11.11.2022, 14:32 
Заслуженный участник


02/08/11
6848
(2) эквивалентно (1), если только не указан способ доопределения $g(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение11.11.2022, 16:08 


18/09/21
1669
Особенность (комплексный анализ)
Цитата:
В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:
  • Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
  • Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
  • Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.
Т.е. зависит от контекста.
В контексте простой комплексной плоскости, полюс - особая точка.
В контексте доопределённой комплексной плоскости (сферы Римана), полюс - не особая точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение12.11.2022, 09:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
zykov в сообщении #1569724 писал(а):
Особенность (комплексный анализ)
Цитата:
В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:[list][*]Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.

Вот в чём вред Вики? -- в разгильдяйстве. Вовсе не "соответственно"; то, что она станет аналитической -- это теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно удаленная точка
Сообщение13.11.2022, 20:23 


03/04/09
103
Россия
zykov в сообщении #1569724 писал(а):
Особенность (комплексный анализ)
Цитата:
В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:
  • Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
  • Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
  • Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.
Т.е. зависит от контекста.
В контексте простой комплексной плоскости, полюс - особая точка.
В контексте доопределённой комплексной плоскости (сферы Римана), полюс - не особая точка.


Т.о., если сказано найти особые точки функции $f(z)$, а в задачах обычно не говорится на какой комплексной плоскости (обычной или расширенной) рассматривается функция, то сначала должны определиться на какой комплексной плоскости рассматриваем функцию?
Пусть нужно найти особые точки функций $f_1(z)=\frac{z+1}{z^2+4}$, $f_2(z)=\frac{z^2+1}{z^2+4}$, $f_3(z)=\frac{z^2+1}{z+4}$.
Сначала будем считать, что функции рассматриваются на обычной комплексной плоскости. Нужно ли в этом случае рассматривать точку $z=\infty$ как особую точку данных функций и будет ли данная точка $z=\infty$ особой точкой для всех трех функций?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group