Бесконечно удаленная точка

[Nurgali]

Здравствуйте!
Всегда ли бесконечно удаленная точка $z=\infty$ считается особой точкой любой функции $f(z)$ комплексной переменной?

[zykov]

Есть в ТФКП теорема (не помню, чьего имени): "Если голоморфная функция на расширенной плоскости не имеет особых точек, то эта функция - константа".

Значит для этой константной функции точка на бесконечности - не особая точка (например, для неконстантного многочлена только одна особая точка - полюс на бесконечности).

[мат-ламер]

Предлагаю рассмотреть функцию $f(z)= \frac{1}{1+z^2}$ .

[Nurgali]

мат-ламер в сообщении #1569284 писал(а):

Предлагаю рассмотреть функцию $f(z)= \frac{1}{1+z^2}$ .

Данная функция имеет особые точки $z_1=-i$ и $z_2=i$.

Сделаем замену $z=\frac{1}{\xi}$:
$f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{1}{1+\left(\frac{1}{\xi}\right)^2}=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}=g(\xi)$ (здесь $\xi=0$ не является особой точкой функции $g(\xi)$).

Разложим функцию $g(\xi)=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}$ в ряд Лорана в окрестности точки $\xi=0$:
$g(\xi)=\frac{\xi^2}{\xi^2+1}=\xi^2\frac{1}{1+\xi^2}=\xi^2\left(1-\xi^2+(\xi^2)^2-(\xi^2)^3+...+(-1)^n(\xi^2)^n+...\right)=\xi^2-\xi^4+\xi^6-\xi^8+...+(-1)^n\xi^{2n+2}+...$

Сделаем обратную замену
$f(z)= \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^4}+\frac{1}{z^6}-\frac{1}{z^8}+...+(-1)^n\frac{1}{z^{2n+2}}+...$

Если бесконечно удаленная точка $z=\infty$ особая точка данной функции, то она устранимая особая точка. А как понять, является ли она особой точкой ?(

[мат-ламер]

Nurgali в сообщении #1569313 писал(а):

А как понять, является ли она особой точкой ?(

По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный. Если рассматриваемая функция задана на комплексной плоскости $\mathbb{C} $ , то естественно считать бесконечность устранимой особой точкой этой функции. Если рассматриваемая функция задана на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ , причём в бесконечности мы её доопределяем нулём, то мы можем считать эту функцию аналитической в бесконечности.

[Nurgali]

мат-ламер в сообщении #1569319 писал(а):

По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный. Если рассматриваемая функция задана на комплексной плоскости $\mathbb{C} $ , то естественно считать бесконечность устранимой особой точкой этой функции. Если рассматриваемая функция задана на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$ , причём в бесконечности мы её доопределяем нулём, то мы можем считать эту функцию аналитической в бесконечности.

Тогда конкретные задачи:
1) записать разложения функции $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$ в ряд Лорана в окрестностях особых точек;
нужно ли записать разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки $z=\infty$?
2) для функции $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$ найти все изолированные особые точки и определить их тип;
нужно ли определять тип для точки $z=\infty$?

[мат-ламер]

1) Да. 2) Да.

[Nurgali]

мат-ламер в сообщении #1569423 писал(а):

1) Да. 2) Да.

В учеб. пособии Евграфов М. А. Аналитические функции написано, что "функция $f(z)$ голоморфна в точке $z=\infty$, если функция $g\left(\xi\right)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ голоморфна в точке $\xi=0$".

Рассмотрим функцию $f(z)=\frac{z-4}{(z-1)(z+2)}$. Сделаем замену $\frac{1}{\xi}$:
$f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{\frac{1}{\xi}-4}{\left(\frac{1}{\xi}-1\right)\left(\frac{1}{\xi}+2\right)}=\frac{\xi-4\xi^2}{\left(11\xi\right)\left(1+2\xi\right)}=\frac{4\xi^2-\xi}{\left(\xi-1\right)\left(1+2\xi\right)}=g(\xi).$

Но функция $g(\xi)$ голоморфна (аналитическая функция) в точке $\xi=0$. Следовательно, функция $f(z)$ голоморфна (аналитическая функция) в точке $z=\infty$. Тогда зачем нужно рассматривать точку $z=\infty$ для вышеуказанных задач?

[мат-ламер]

Nurgali в сообщении #1569528 писал(а):

Тогда зачем нужно рассматривать точку $z=\infty$ для вышеуказанных задач?

Во-первых, проще и быстрее рассмотреть, чем в течении длительного времени обсуждать необходимость рассмотрения. Усилия зря не пропадут.
Во-вторых, своё мнение по вопросу я уже высказал:

мат-ламер в сообщении #1569319 писал(а):

По-моему, здесь вопрос терминологический и не принципиальный

Моё сугубо личное мнение в том, что если вашу функцию доопределить в бесконечности нулём, то она будет там голоморфной. Только она там не доопределена.

[Nurgali]

мат-ламер в сообщении #1569533 писал(а):

Во-первых, проще и быстрее рассмотреть, чем в течении длительного времени обсуждать необходимость рассмотрения. Усилия зря не пропадут.

Если правильно понял, то имеется два подхода по отношению бесконечно удаленной точки
1) считают точку $z=\infty$ особой точкой любой функции $f(z)$;
2) считают точку $z=\infty$ особой точкой функции $f(z)$? если точка $\xi=0$ является особой точкой функции $g(\xi)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$

[мат-ламер]

Nurgali в сообщении #1569699 писал(а):

Если правильно понял, то имеется два подхода по отношению бесконечно удаленной точки
1) считают точку $z=\infty$ особой точкой любой функции $f(z)$;

А можно к вам вопрос? На основании чего у вас возникло такое понимание? Если что, то я и близко к этому ничего не писал. И вроде цитируемый Евграфов тоже.

[warlock66613]

(2) эквивалентно (1), если только не указан способ доопределения $g(0)$.

[zykov]

Особенность (комплексный анализ)

Цитата:

В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:

• Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
• Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
• Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.

Т.е. зависит от контекста.
В контексте простой комплексной плоскости, полюс - особая точка.
В контексте доопределённой комплексной плоскости (сферы Римана), полюс - не особая точка.

[ewert]

zykov в сообщении #1569724 писал(а):

Особенность (комплексный анализ)

Цитата:

В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:[list][*]Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.

Вот в чём вред Вики? -- в разгильдяйстве. Вовсе не "соответственно"; то, что она станет аналитической -- это теорема.

[Nurgali]

zykov в сообщении #1569724 писал(а):

Особенность (комплексный анализ)

Цитата:

В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:

• Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
• Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
• Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.

Т.е. зависит от контекста.
В контексте простой комплексной плоскости, полюс - особая точка.
В контексте доопределённой комплексной плоскости (сферы Римана), полюс - не особая точка.

Т.о., если сказано найти особые точки функции $f(z)$, а в задачах обычно не говорится на какой комплексной плоскости (обычной или расширенной) рассматривается функция, то сначала должны определиться на какой комплексной плоскости рассматриваем функцию?
Пусть нужно найти особые точки функций $f_1(z)=\frac{z+1}{z^2+4}$, $f_2(z)=\frac{z^2+1}{z^2+4}$, $f_3(z)=\frac{z^2+1}{z+4}$.
Сначала будем считать, что функции рассматриваются на обычной комплексной плоскости. Нужно ли в этом случае рассматривать точку $z=\infty$ как особую точку данных функций и будет ли данная точка $z=\infty$ особой точкой для всех трех функций?