Только правильные оценки —
![$\Omega(n)=O(\ln n)$ $\Omega(n)=O(\ln n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfe5c202c0c19b4d946f4c22900160282.png)
и
![$\omega(n)=O\left(\frac{\ln n}{\ln\ln n}\right)$ $\omega(n)=O\left(\frac{\ln n}{\ln\ln n}\right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509a710e379efd80afb0ae55276f6a3382.png)
;
![$\ln\ln n$ $\ln\ln n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/0/8f0e9a73dca46418195763692f178a7d82.png)
— это только для «почти всех»
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
Теперь в отношении асимптотических оценок «почти всюду» для арифметических функций.
Рассмотрим аддитивную арифметическую функцию
![$\ln \varphi(n)$ $\ln \varphi(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/6/d76bac0a7e97c1b92a226437b02fb6b582.png)
.
Так как
![$\varphi(n) \leq n$ $\varphi(n) \leq n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/9/8e9cc2288e565b88f454d12036228af882.png)
, то
![$\ln \varphi(n) \leq \ln(n)$ $\ln \varphi(n) \leq \ln(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/5/2f5fc4789863321a670ac7bf70219d0782.png)
. (1)
Известно, что для любой арифметической функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
выполняется следующая асимптотическая оценка «почти всюду» при
![$n \to \infty$ $n \to \infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e5ac09b149a8f375637b349458e91e182.png)
:
![$f(n)=A(n)+O(b(n)\sqrt{D(n)})$ $f(n)=A(n)+O(b(n)\sqrt{D(n)})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/8/9c85a355ad3c1e651fabc3b9c9671a2f82.png)
, (2)
где
![$A(n),D(n)$ $A(n),D(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdc96197396d9088af64b4127ee604ec82.png)
- соответственно асимптотики среднего значения и дисперсии арифметической функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, а
![$b(n)$ $b(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/14619328ba0e9a59db400bd29792af8082.png)
- медленно растущая функция.
Для арифметической функции
![$\ln \varphi(n)$ $\ln \varphi(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/6/d76bac0a7e97c1b92a226437b02fb6b582.png)
значения:
![$A(n)=\ln(n)+O(1),D(n)=0,5\ln^2(n)+O(1)$ $A(n)=\ln(n)+O(1),D(n)=0,5\ln^2(n)+O(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d232b877dfec9a744c8a991672bb3282.png)
, подставим их в (2) и получим, что «почти всюду» при
![$n \to \infty$ $n \to \infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e5ac09b149a8f375637b349458e91e182.png)
:
![$\ln \varphi(n)=\ln(n)+O(\ln^{1+\epsilon}(n))=O(\ln^{1+\epsilon}(n))$ $\ln \varphi(n)=\ln(n)+O(\ln^{1+\epsilon}(n))=O(\ln^{1+\epsilon}(n))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/e/7ae9fe6126a3b899c802ff0db5e2562782.png)
, (3) где
![$b(n)=\ln^{\epsilon}(n)$ $b(n)=\ln^{\epsilon}(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/b/36b78f919d73b8f9d8fa6a53a3e5a07082.png)
.
Как можно использовать оценку (3) при наличии (1)?
Делаю вывод, что оценки (2) можно использовать, если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- имеет только нормальный порядок относительно своего среднего значения, например для
![$\omega(n),\Omega(n)$ $\omega(n),\Omega(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda3b8dee7668549a01053ba885657382.png)
, что можно обобщить по теореме Турана. Ваше мнение?