Не понимаю, как сделать преобразование

[Kevsh]

Есть такая дробь:
$\frac{U}{I}=R\frac{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{mA}}{R}}{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{\text{и}}}{R_V}}$
Также есть такие условия:
$\frac{R_{mA}}{R}\ll 1$; $\frac{R_{\text{и}}}{R}\ll 1$; $\frac{R_{\text{и}}}{R_V}\ll 1$
В учебнике написано следующее:
Пользуясь свойствами малых величин и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим:
$\frac{U}{I}\approx R(1+\frac{R_{\text{mA}}}{R}-\frac{R_{\text{и}}}{R_V})$
Вот не могу понять, как это получается. Я уже как только не гуглил, но свойства подобного найти не могу. Тут $\frac{R_{\text{и}}}{R}\approx 0,02$, $\frac{R_{\text{mA}}}{R}\approx 0,002$ и $\frac{R_{\text{и}}}{R_V}\approx =0,0001$. Второй порядок малости тут у $\frac{R_{\text{и}}}{R}$? Вроде из определения это так, но при этом это значение самое большое, почему мы тогда его не учитываем?

[GAA]

Для простоты можно сделать в два шага.
1. Запишем дробь

$$\frac{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{mA}}{R}}{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{\text{и}}}{R_V}}$$

в виде $\frac A {1+z}$. Здесь $z$ — малая величина (как сумма малых по условию величин $\frac{R_{\text{и}}}{R}$ и $\frac{R_{\text{и}}}{R_V}$). Тогда удерживая до первого порядка включитедльно
$\frac A {1+z} \approx A - Az$.
2. $A = 1+ u$. Здесь $u$ — малая величина (как сумма малых по условию величин $\frac{R_{\text{и}}}{R}$ и $\frac{R_{mA}}{R}$). Следовательно, вся дробь будет иметь вид
$1+u - (1+u)z \approx 1 + u - z$.

(Осталось заменить $u$ и $z$ на их выражения и будет получен приведенный в начальном сообщении ответ. Обоснования можно поискать в учебнике по математическому анализу или высшей математике в теме бесконечно малые функции или в теме производные.)

-- Sun 06.11.2022 17:33:16 --

Kevsh в сообщении #1569119 писал(а):

Второй порядок малости тут у $\frac{R_{\text{и}}}{R}$?

Нет. Второй порядок будет у попарных произведений $\frac{R_{mA}}{R}$, $\frac{R_{\text{и}}}{R}$, $\frac{R_{\text{и}}}{R_V}$. Например, $\frac{R_{mA}}{R} \frac{R_{\text{и}}}{R}$. Функция $1/R$ будет бесконечно малой при $R \to \infty$.

[мат-ламер]

Как вариант. На первом этапе мы можем считать величину $R_\text{и} \slash R$ не бесконечно малой, а вполне конкретной. И получить ответ (разделив числитель и знаменатель большой дроби на очевидный множитель) с множителем $(1+R_\text{и} \slash R)^{-1}$ . А уже на втором этапе, учитывая бесконечную малость нашей дроби, заменить наш множитель на единицу.

[EUgeneUS]

Kevsh
Есть волшебная формула, которая с точки зрения математики довольно таки тривиальна, а в физике используется очень часто.

$ (1 + \varepsilon)^\alpha \approx 1 + \varepsilon \alpha$, если $\varepsilon \ll 1$

Собственного говоря, выше уважаемый GAA ею и пользовался.

[GAA]

(Что одному проще, то другому сложнее.)

Обозначим дробь $\frac{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{mA}}{R}}{1+\frac{R_{\text{и}}}{R}+\frac{R_{\text{и}}}{R_V}}$ через $f(u, z) = \frac{1+u}{1+z}$. До первого порядка малости $u$ и $z$ включительно
$f(u, z) \approx f(0,0) + \frac {\partial f(u, z)}{\partial u}|_{u =0, z=0} u + \frac {\partial f(u, z)}{\partial z}|_{u =0, z=0} z = 1 +u -z.$
(В краткой нотации $f(u, z) \approx f(0,0) + \frac {\partial f(0, 0)}{\partial u} u + \frac {\partial f(0, 0)}{\partial z} z.$ Подставив выражения для $u$ и $z$ получаем ответ из начального сообщения темы. Смотреть в учебнике по математическому анализу или высшей математике тему Дифференциальное исчисление функций многих [независимых] переменных.)

-- Sun 06.11.2022 18:49:47 --

EUgeneUS в сообщении #1569133 писал(а):

Собственного говоря, выше уважаемый GAA ею и пользовался.

Или суммой бесконечной геометрической прогрессии.

[provincialka]

А ТС на каком уровне должен задачу решить? Тут же арифметические выражения, для них матан не нужен. Есть методы работы с погрешностями. (но с матаном проще, конечно)

[Евгений Машеров]

Kevsh в сообщении #1569119 писал(а):

Второй порядок малости тут у $\frac{R_{\text{и}}}{R}$? Вроде из определения это так, но при этом это значение самое большое, почему мы тогда его не учитываем?

Второй порядок малости у квадратов малых величин (и их попарных произведений), у кубов и произведений с тремя сомножителями третий и т.п.

Способ решения несколько трудоёмкий, но заведомо известный из школьной программы. Расписываем выражение, как произведение числителя на дробь с единицей в числителе и знаменателем исходного. Вспоминаем формулу геометрической прогрессии. Дробь выражаем через неё, умножаем на числитель, вычёркиваем квадраты и произведения малых величин.

[мат-ламер]

provincialka в сообщении #1569175 писал(а):

Тут же арифметические выражения, для них матан не нужен.

Вот-именно! Задача не совсем по матану и тут есть нюанс. Дело в том, что второй порядок выражения $R_\text{и} \slash R$ больше, чем первый порядок выражения $R_\text{и} \slash R_v$ .

[GAA]

Kevsh в сообщении #1569119 писал(а):

В учебнике написано следующее:
Пользуясь свойствами малых величин и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим

provincialka в сообщении #1569175 писал(а):

Тут же арифметические выражения, для них матан не нужен. Есть методы работы с погрешностями.

provincialka, а нельзя ли подробней написать (учитывая процитированное в этом сообщении).

По поводу «матана».
Виленкин Н.Я. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразоват. организаций (углублённый уровень) — М.: Мнемозина, 2009 (18 изд., стер.); гл. 5, §1, п.4. Дифференциал функции.

Цитата:

<…>
$f(a+h) = f(a) + (f’(a)+\alpha)h. \qquad (2)$
Равенство (2) применяется дл приближённого вычисления значений функции $f$ вблизи точки $a$, в которой легко найти как значение функции, так и значение её производной. Для этого отбрасывают бесконечно малое слагаемое $\alpha$ и пишут
$f(a+h) \approx f(a) + f’(a) h. \qquad (3)$
[Далее приводится пример и даются упражнения. — GAA]

[Материал по геометрической прогрессии цитировать не буду. Учебник легко найти в Сети.] Конечно, книги у всех разные. Поэтому для начала ТС нужно посмотреть в свой учебник и, если не получится найти там нужного, то можно и спросить в теме, указав свою книгу.

[provincialka]

Правильно я разглядела, что слагаемые после 1 в числителе и знаменателе одинаковые?
Попробую, только введу краткие обозначений. Надо оценить величину

$$\frac{1+a+b}{1+a+c}$$

где $a\approx 0,02$, $b\approx 0,002$, $c\approx 0,0001$
Имеем

$$\frac{1+a+b}{1+a+c}=1+\frac{b-c}{1+a+c}\approx 1+b-c$$

так как знаменатель практически равен 1.
Если все же поточнее учесть знаменатель,

$$\frac{b-c}{1+a+c}\approx (b-c)(1-a-c)=b-c-ab-bc+ac+c^2$$

Но тут слагаемые, начиная с третьего, имеют второй порядок малости

[EUgeneUS]

Довольно забавно наблюдать "математики vs физики"

Условно, математики пытаются как можно более красиво и строго вывести формулу.
Условно, физики (в том числе в моём лице): есть "волшебная формула", больше ничего не нужно в этой задаче. Как эта формула выводится:
а) её вывели математики.
б) физики ознакомились с её выводом и согласились

[GAA]

provincialka, понял. Спасибо!
Вариант с бесконечной геометрической прогрессией мне нравится больше, т.к. позволяет получить оценку погрешности замены исходной дроби линейным приближением. И это (в свою очередь) позволяет сделать вывод о целесообразности или нецелесообразности учета $b$ или $c$ в конечной формуле ($1+b+c$) при работе с конкретными значениями величин (которые входят в исходное выражение).

-- Mon 07.11.2022 21:47:12 --

Хотя, конечно, линейное приближение практически не облегчает вычисления для конкретных чисел. Можно числа и в исходную дробь подставить.

[provincialka]

GAA
Решаете задачу об устойчивости стола с произвольным числом ножек?
Сказано же, что все три величины $a, b, c$ -- маленькие и нам не нужны величины второго порядка.
Число $b$ тут "не играет" потому, что оно и в числителе и в знаменателе.

[GAA]

GAA в сообщении #1569286 писал(а):

($1+b+c$)

Должно было быть $1+b-c$.

provincialka в сообщении #1569297 писал(а):

Число $b$ тут "не играет" потому, что оно и в числителе и в знаменателе.

У Вас $b$ в числителе, а $c$ в знаменателе.
Далее мы друг друга, видимо, не поняли, но это, скорее всего, и не важно.

[provincialka]

GAA
Думаю, не важно. См. выше про физиков и математиков.