В продолжение темы предлагаю рассмотреть следующую задачу.
Задача. По какому закону должны ускоряться точки поезда Маглев в лабораторной инерциальной системе координат, чтобы в процессе ускорения в его корпусе не возникали бы продольные деформации? Считаем, что поезд имеет длину

и ускоряется в положительном направлении оси

-ов.
Решение. Пусть в начальный момент времени задний конец поезда находится в начале координат лабораторной системы координат и пусть

– параметр, определяющий положение некоторой точки в поезде в начальный момент времени

до начала ускорения. Тогда

. Движение точек поезда в лабораторной системе координат можно описать функцией

, причём

.
Рассмотрим две близкие точки поезда

и

, отвечающие значениям параметра

и

. Расстояние между ними в движении будем определять радарным методом, как это было предложено
Cos(x-pi/2). Для времени прохождения света от

до

по лабораторным часам получим уравнение

Для времени прохождения отражённого света обратно от

до

по лабораторным часам получим аналогичное уравнение

Уравнения (1) и (2) нелинейны. Но их можно линеаризовать, считая

,

и

бесконечно малыми одного порядка при

. Это даёт

Через

и

обозначены частные производные функции

по переменным

и

соответственно. Уравнения (3) легко решаются и дают

Сложив величины (4), мы получим полное время радарного ожидания

Далее следует пересчёт к собственному времени точки

:

Из (5) и (6) выводится радарное расстояние между точками

и

:

Условие отсутствия продольных деформаций в корпусе поезда Маглев выражается равенством

. В силу (7) это равенство приводит к дифференциальному уравнению в частных производных на функцию

:

У уравнения (8) есть тривиальное решение

, означающее, что поезд вообще не начинает двигаться. Другое тривиальное решение

не имеет физического смысла, поскольку оно не удовлетворяет начальному условию

. Интересно, есть ли у него какие-либо нетривиальные решения, удовлетворяющие начальному условию

, которые можно выписать явно?