Неоднородно заряженный диск

[Ignatovich]

Диэлектрический диск радиуса R разделен хордой длины l на две части, одна из которых заряжена с поверхностной плотностью +$\sigma$ , а другая с поверхностной плотностью -$\sigma$ . Определите потенциал в какой-нибудь точке диска (в какой сможете...).

[dovlato]

Проще всего в точках пересечения хорды с окружностью. Хоть с целым веером хорд.

-- Вс окт 30, 2022 18:11:49 --

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1568287 писал(а):

Проще всего в точках пересечения хорды с окружностью. Хоть с целым веером хорд.

-- Вс окт 30, 2022 18:11:49 --

Про веер хорд не понял. Хорда одна и она делит поверхность диска на две области, одна из которых заряжена положительно, а другая отрицательно.

[dovlato]

Из одной точки граничной окружности проводим произвольное количество хорд, со всеми известными углами.
И интегрируем в каждом угле, у множая каждый интеграл на свою поверхностную плотность.

[Ignatovich]

dovlato
Потом я догадался, что вы имели в виду. Это интересное развитие задачи.
Но меня интересует случай двух областей. Кроме указанных вами двух точек на окружности, есть еще одна, в которой потенциал можно подсчитать также просто. И результат меня удивил.

[rascas]

Ignatovich в сообщении #1568254 писал(а):

Определите потенциал в какой-нибудь точке диска (в какой сможете...).

Ещё возможно посчитать потенциал в центре диска. Диск разбивается на заряженные стержни параллельные хорде и интегрируется. Ответ получается, но с логарифмами и арктангенсами. И не сказал бы что ответ удивительный.

[Ignatovich]

rascas
Вы правы, центр диска - это не та точка, для которой потенциал можно рассчитать с элементарным интегрированием и порадоваться, глядя на результат.

[Ignatovich]

Ignatovich в сообщении #1568565 писал(а):

Ещё возможно посчитать потенциал в центре диска. Диск разбивается на заряженные стержни параллельные хорде и интегрируется. Ответ получается, но с логарифмами и арктангенсами. И не сказал бы что ответ удивительный

Потенциал можно посчитать почти без интегрирования в крайних точках хорды, о чем писал dovlato, а также в ее средней точке.

[Ignatovich]

Ignatovich в сообщении #1568254 писал(а):

Диэлектрический диск радиуса R разделен хордой длины l на две части, одна из которых заряжена с поверхностной плотностью +$\sigma$ , а другая с поверхностной плотностью -$\sigma$ . Определите потенциал в какой-нибудь точке диска (в какой сможете...).

Как-то застряла эта задачка. Возможно, я ее не очень конкретно сформулировал.
В крайних точках хорды потенциал можно найти методом, который обсуждался в https://dxdy.ru/topic114848.html и https://dxdy.ru/topic151186.html.
Приведу ответ:

$\varphi=\frac{\sigma d}{\pi \varepsilon_0}$,

где $d=\sqrt{R^2-(l/2)^2}$- расстояние от хорды до центра диска.

Но остался без ответа вопрос: чему равен потенциал в средней точке хорды?

[LLeonid3]

Ignatovich в сообщении #1578234 писал(а):

Как-то застряла эта задачка.

"... потенциалом электрического поля... - это количество рабочей энергии, необходимое для перемещения единицы электрического заряда (кулона) из контрольной точки в конкретную точку электрического поля..."
Наверное потому и застряла, что вы не обозначили "контрольную точку"

[Ignatovich]

LLeonid3, можно дать ответ с произвольной аддитивной постоянной, но обычно потенциал в бесконечно удаленной точке полагают равным нулю.

[LLeonid3]

Ignatovich, принимать потенциал бесконечно удалённой точки за "0" удобно, но не всегда соответствует правде
Вот картинка визуализации "линий силового поля" выполняемая численным методом на компьютере:
https://disk.yandex.ru/i/l1BX4wIuqyX7Kg
Так же можно решить и вашу задачу увеличив количество точек до нескольких тысяч, большой ошибки не будет, зато наглядно изобразить можно для понимания

[Ignatovich]

LLeonid3 в сообщении #1578293 писал(а):

Так же можно решить и вашу задачу

Задачу можно решить аналитически, не используя численные методы.

[revos]

Цитата:

Но остался без ответа вопрос: чему равен потенциал в средней точке хорды?

"В крайних точках хорды потенциал....Приведу ответ:
$\varphi=\frac{\sigma d}{\pi \varepsilon_0}$,
где $d=\sqrt{R^2-(l/2)^2}$- расстояние от хорды до центра диска."

Такой же ответ для средней точки хорды.
Только над уточнить, что σ в формуле должна иметь знак, соответствующий большей части "разделённого" заряженного диска ( или + σ, или - σ).

[Ignatovich]

revos в сообщении #1579551 писал(а):

$\varphi=\frac{\sigma d}{\pi \varepsilon_0}$,
где $d=\sqrt{R^2-(l/2)^2}$- расстояние от хорды до центра диска."

Такой же ответ для средней точки хорды

Это так.
И добавлю, что такой же ответ для любой точки хорды.