Определения аффинной размерности множества

[give_up]

В курсе методов оптимизации вводится понятие аффинной размерности множества.

Так, в учебнике S. Boyd "Convex optimization" и в учебнике Васильев Ф.П. "Методы оптимизации" оно выглядит следующим образом:

Цитата:

(Аффинной) размерностью произвольного множества $X \subseteq \mathbb{R}^n$ называется размерность его аффинной оболочки, то есть $\operatorname{dim} X = \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X)$.

Однако, в учебнике Сухарев и др. "Курс методов оптимизации" оно несколько отличается:

Цитата:

(Аффинной) размерностью выпуклого множества $X \subseteq \mathbb{R}^n$ называется размерность параллельного ему линейного подпространства $\operatorname{Lin} X = \operatorname{aff} X - x_0$ (где $x_0 \in \operatorname{aff} X$ – произвольная точка из множества $\operatorname{aff} X$), то есть $\operatorname{dim} X = \operatorname{dim}(\operatorname{Lin} X) = \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X - x_0)$

Эти два определения несколько отличаются друг от друга, поэтому у меня возникли следующие два вопроса:

1) Верно ли, что для всякого множества $X \subseteq \mathbb{R}^n$ выполняется равенство $ \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X) = \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X - x_0)$ (где $x_0 \in \operatorname{aff} X$ – произвольная точка из множества $\operatorname{aff} X$)?
Я думаю, что ответ здесь положительный (так как аффинная размерность всякого одноточечного множества $\{x_0\}$ равна нулю), но не уверен полностью.

2) Почему в учебнике Сухарева и др. множество $X \subseteq \mathbb{R}^n$ в вышеприведенном определении обязательно должно быть выпуклое? Ведь в учебниках Васильева и Boyd оно может быть произвольным.
Здесь моя догадка состоит в том, что аффинная размерность для невыпуклых множеств редко используется на практике и выглядит не очень естественно. Например, в книге Boyd указано, что аффинная размерность единичной окружности в $\mathbb{R}^2$ равна двум (так как ее аффинная оболочка есть все пространство $\mathbb{R}^2$), однако, как там сказано, согласно большинству других определений размерности (используемых в самых разных областях математики), единичная окружность имеет размерность 1. Как я подозреваю, исходя из подобных соображений, Сухарев в своем учебнике решил дать определение аффинной размерности только для выпуклых множеств. Но, в принципе, ничего не мешает дать это определение для произвольного множества (как это сделали Васильев и Boyd).

Заранее спасибо за помощь.

[Slav-27]

1) Да.
2) Скорее всего так и есть.

[svv]

Сейчас заглянул в Васильева (издание 2002 года). Вот как он делает:
1) Размерность аффинного множества $M$ — это размерность подпространства $L$, параллельного $M$ (стр. 150).
2) Аффинная оболочка $X$ — это пересечение всех аффинных множеств, содержащих $X$ (стр.151, определение 3). Она сама есть аффинное множество, поскольку пересечение любого числа аффинных множеств есть аффинное множество (стр.151, вверху).
3) Размерность $X$ — это размерность его аффинной оболочки $X$ (стр.151, определение 4).
Так что разница между определениями Васильева и Сухарева ещё меньше.

Но, конечно, смешивать размерность окружности как многообразия с её аффинной размерностью недопустимо. Надо было Васильеву в определении 4 написать "Аффинная размерность..."

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1567420 писал(а):

2) Почему в учебнике Сухарева и др. множество $X \subseteq \mathbb{R}^n$ в вышеприведенном определении обязательно должно быть выпуклое? Ведь в учебниках Васильева и Boyd оно может быть произвольным.

Потому как в той части учебника Сухарева, где используется это понятие, множества как правило выпуклые.

give_up в сообщении #1567420 писал(а):

Здесь моя догадка состоит в том, что аффинная размерность для невыпуклых множеств редко используется на практике и выглядит не очень естественно.

Невыпуклые множества редко встречаются в учебниках, поскольку с выпуклыми проще работать (что-то доказывать). А на практике бывает всякое.

-- Вс окт 23, 2022 19:40:34 --

svv в сообщении #1567434 писал(а):

Так что разница между определениями Васильева и Сухарева ещё меньше.

Что-то я не заметил у Васильева тему выпуклости.

[ewert]

give_up в сообщении #1567420 писал(а):

1) Верно ли, что для всякого множества $X \subseteq \mathbb{R}^n$ выполняется равенство $ \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X) = \operatorname{dim}(\operatorname{aff} X - x_0)$ (где $x_0 \in \operatorname{aff} X$ – произвольная точка из множества $\operatorname{aff} X$)?
Я думаю, что ответ здесь положительный (так как аффинная размерность всякого одноточечного множества $\{x_0\}$ равна нулю), но не уверен полностью.

Думаете-то Вы правильно, а вот аргументируете -- нет. Размерность отдельной точки тут не при чём, это просто по определению размерности аффинного подпространства.

-- Пн окт 24, 2022 09:20:40 --

give_up в сообщении #1567420 писал(а):

Здесь моя догадка состоит в том, что аффинная размерность для невыпуклых множеств редко используется на практике и выглядит не очень естественно.

Она и для выпуклых в общем-то не обязательна. Тут дело скорее в том, что именно для выпуклых важна полнота этой размерности (множество не должно содержаться в подпространстве меньшей размерности). И введение аффинной размерности -- это, видимо, просто наиболее лаконичный способ это формализовать.

[give_up]

Спасибо всем отписавшимся, теперь разобрался. Действительно, равенство $\operatorname{dim}(\operatorname{aff}X) = \operatorname{dim}(\operatorname{aff}X - x_0)$ (где $x_0 \in \operatorname{aff}X$ - произвольная точка из множества $\operatorname{aff}X$) следует из определения размерности аффинного множества и того факта, что $\operatorname{aff}X$ есть аффинное множество для любого $X \subseteq \mathbb{R}^n$.