Стeпeнь c paциoнaльным пoкaзaтeлeм. Отрицательное основание.

[oleg2099]

Добрый вечер! Есть 2 вопроса, хотелось бы с ними разобраться

1) Верно ли равенство $(-1)^\frac{1}{3}=-1$

В качестве обоснования подойдет ли такое? $(-1)^\frac{1}{3}=(e^{3i\pi})^\frac{1}{3}=e^{i\pi}=-1$

2) Верно ли это $(-1)^\frac{1}{3}=(-1)^\frac{2}{6}=(\sqrt[6]{-1})^2=i^2=-1$

[zykov]

oleg2099 в сообщении #1566662 писал(а):

В качестве обоснования подойдет ли такое? $(-1)^\frac{1}{3}=(e^{3i\pi})^\frac{1}{3}=e^{i\pi}=-1$

Или такое $(-1)^\frac{1}{3}=(e^{i\pi})^\frac{1}{3}=e^{\frac{i\pi}{3}}=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}$

[oleg2099]

zykov в сообщении #1566663 писал(а):

кое? $(-1)^\frac{1}{3}=(e^{3i\pi})^\frac{1}{3}=e^{i\pi}=-1$

Спасибо! Ваш вариант я также понял. Но мой вариант правильный?)

[GAA]

Имеются разные соглашения о действительной степени с отрицательным основанием и дробным показателем:
1) степень с дробным показателем не определяется для отрицательных оснований; для отрицательных оснований определён только корень с нечётным показателем (как обратная функция к степени с нечётным целым показателем);
2) $x^{m/n}$ синоним $\sqrt [n] {x^m}$, при этом $m/n$ несократимая дробь, $n$ — нечетное [При таком соглашении $m/n$ — не число, а пара чисел; по существу это сокращение для комбинации корня и степени].
См. подробнее в теме «Корень vs. степень: область определения».

Если рассматриваются комплексные числа, то ваше обоснование первого пункта выглядит неправильным, поскольку не указано какими могут быть значения степени. Если требуется найти действительное, то в целом у Вас правильно. Если любое комплексное, то нет, конечно.
Если комплексные числа ещё не рассматриваются, то см. первые пункты выше.
Во втором задании аналогично.

[oleg2099]

Спасибо за ответ. Вопрос я задаю только из-за того, что затеялся спор затеялся между 2 людьми (один из которых я, но я специально не буду говорить - какую из двух позиций занимаю я, чтобы не было предвзятости).

Спикер №1

Выражение $(-1)^\frac{1}{3}$ не определено, так как основание отрицательное.

Вот здесь, например, будет несостыковка, если считать, что $(-1)^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{-1}$:

$-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^\frac{1}{3}=(-1)^\frac{2}{6}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$

Спикер №2

$(-1)^\frac{1}{3}$ определено

$(-1)^\frac{1}{3}=(-1)^\frac{2}{6}=(\sqrt[6]{-1})^2=i^2=-1$, нет никакой проблемы.

Спикер №1

Почему Вы здесь выбираете из 6 полученных корней для $\sqrt[6]{-1}$ именно тот, что в квадрате дает $-1$?

Спикер №2

Это равенство является верным?

$(-1)^\frac{1}{3}=(e^{3i\pi})^\frac{1}{3}=e^{i\pi}=-1$

Если нет, то докажите, что не существует таких аргументов $\varphi$ при которых выполняется данное равенство выше.

Спикер №1

Так как вы используете многозначные выражения, не упоминая остальных возможных значений корня (позиционируя ваше значение корня как единственно возможное, то вы ошибаетесь тем самым. Вот если бы Вы упомянули о наличии других возможных корней, то у меня бы вопросов к Вам не возникло.

Спикер №2

Так Вы сможете опровергнуть это? $(-1)^\frac{1}{3}=(e^{3i\pi})^\frac{1}{3}=e^{i\pi}=-1$.
Если нет, то мы с Вами убедились, что я был прав в том, что $(-1)^\frac{1}{3}=-1$

Чья позиция ближе к правде?)

[zykov]

oleg2099 в сообщении #1566670 писал(а):

Чья позиция ближе к правде?)

Тут не в правде дело, а вот какое определение даётся такой степени.
Рассуждать надо по определению.

[mihaild]

Есть три варианта определения, из которых самый странный дает определение 2го спикера. Аргументы 2го спикера в любом случае никуда не годятся, т.к. равенство $(e^a)^b = e^{a\cdot b}$ неверно.
Определение 1 (странное, по мотивам школы): $x^\frac{a}{b}$ - это решение уравнения $y^b = x^a$, если такое есть; если решений несколько - то положительное. Свойство $(a^b)^c = a^{bc}$ не выполнено. $(-1)^\frac{1}{3} = -1$
Определение 2. Степень определяется только для положительного вещественного основания, как в курсе мат. анализа. Свойство $(a^b)^c = a^{bc}$ выполнено. $(-1)^\frac{1}{3}$ не определено.
Определение 3. Степень определяется как в курсе комплексного анализа. Свойство $(a^b)^c = a^{bc}$ выполнено. $(-1)^\frac{1}{3}$ определено, но это несколько значений.

[oleg2099]

mihaild в сообщении #1566672 писал(а):

Есть три варианта определения, из которых самый странный дает определение 2го спикера. Аргументы 2го спикера в любом случае никуда не годятся, т.к. равенство $(e^a)^b = e^{a\cdot b}$ неверно.

Спасибо большое, время раскрыть карты, я спикер №1. Я переключился со второго определения на третье, поняв, что второе определение спикера №2 не интересует.

Я все равно до конца так и не понял - по какому принципу спикер номер 2 выбирал именно корень $(-1)^\frac{1}{3} = -1$. Это чисто подгонка под нужный результат или есть какая-то реальная идея была в этом заложена?

К сожалению, спикеру №2 этот вопрос задавать не хочется, потому как формат беседы перестал быть конструктивным из-за агрессии спикера №2.

Мне тоже показалось определение №1 странным, пока только не очень понял - как именно нарушается $(a^b)^c = a^{bc}$?)

[mihaild]

oleg2099 в сообщении #1566674 писал(а):

Это чисто подгонка под нужный результат или есть какая-то реальная идея была в этом заложена?

Скорее подгонка. Можно взять какую-нибудь ветвь корня, но, если я ничего не перепутал, у ветви для которой $\sqrt[3](1) = 1$ получится обязательно $\sqrt[3]{-1} = \frac{1}{3} \pm \sqrt{3}{2} i$.

oleg2099 в сообщении #1566674 писал(а):

Мне тоже показалось определение №1 странным, пока только не очень понял - как именно нарушается $(a^b)^c = a^{bc}$?)

Вы же сами показали:

oleg2099 в сообщении #1566670 писал(а):

$-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^\frac{1}{3}=(-1)^\frac{2}{6}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$

Посмотрите, какой из переходов ошибочен по этому определению.

[GAA]

oleg2099 в сообщении #1566674 писал(а):

Я все равно до конца так и не понял - по какому принципу спикер номер 2 выбирал именно корень $(-1)^\frac{1}{3} = -1$. Это чисто подгонка под нужный результат или есть какая-то реальная идея была в этом заложена?

Ещё раз в книгах и статьях дробная степень при отрицательных основания понимается как сокращение для комбинации корня и целой степени. [Так красивее и в требованиях к рукописям часто это указывают.]
Например, открываем Демидович Сборник задач по математическому анализу, 2005
и смотрим упражнение

Цитата:

Приведя уравнения к параметрическому виду, найти площади фигур, ограниченными кривыми
2429 $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ (астроида)

Рисунок для $a=1$ кривой

Вложение:

.PNG [ 4.33 Кб | Просмотров: 1083 ]

Можно кучу сборников задач для начинающих по математическому анализу или диф. уравнениям привести, в которых такие примеры найти можно. И кучу статей в центальных журналах.

В данном случае $(-1)^{1/3}$ — это кубический корень. Это функция обратная для степени с показателем 3. Эта степень определена на всей прямой и возрастает. Значит имеется обратная (кубический корень), заданная на всей прямой [т.е. для $-\infty<x<+\infty$] .

-- Fri 14.10.2022 00:35:07 --

Я в сообщении выше [в этой теме] давал ссылку на тему, где это всё на многих страницах обсуждается.

-- Fri 14.10.2022 00:52:33 --

На всякий случай. Нужна ли такая договорённость о дробной степени в учебниках или статьях я не буду обсуждать. Это просто есть. И не только в СССР, но и в ближнем/дальнем зарубежье. Аналогично не планирую обсуждать, нужны ли действительные корни от отрицательных чисел.

(Если не нужны, то просто не включайте в лекции и отбирайте формулировки задач, чтобы там они не встречались. Так как такие задачи почти всегда можно переформулировать, например, используя параметрическое задание. С редакциями журналов не поспоришь, но также иногда можно переделать выражение, если так уж не хочется корни из отрицательных иметь.)

[GAA]

По поводу $(\sqrt[6]{-1})^2$.
Обозначим $\sqrt[6]{-1}$ через $z$. Тогда $-1=z^6$ или $z^6+1=0$. Раскладывая на множители, получим $(z^2+1)(z^2-\sqrt 3 z+1)(z^2+\sqrt 3 z+1)=0.$
Или сразу $(-1)^{1/6} = \exp(\pi i/6+2\pi k i /6)$, $k=0,\ldots,5$.
Следовательно $z_{1,2} = \pm i$, $z_{3,4,5,6} = \frac {\pm \sqrt 3 \pm i} {2}$.
После возведения в квадрат получаем значения $(\sqrt[6]{-1})^2$: $-1$, $\frac{1-\sqrt 3 i}{2}$, $\frac{1+\sqrt 3 i}{2}$.
Это три значения $\sqrt[3]{-1}$.