Мысленный эксперимент с подниманием камней в ОТО

[schekn]

epros в сообщении #883056 писал(а):

Я же сказал, что в координатах кривизны в пределе тонкого слоя будет разрыв метрики

Я это тоже сказал, ссылаясь на Лайтмана, а потом подробно показал это для тонкой сферы. Это та же задача в пределе, если устремить толщину оболочки к нулю.

epros в сообщении #883056 писал(а):

Вы провоцируете меня на то, чтобы я специально для Вас выписал полное решение?

Это была Ваша обязанность, на минуточку, раз это Ваша задача. А Вы сваливаете ее на других.

epros в сообщении #883056 писал(а):

Что может быть непонятного в том, что вторая производная функции в точке её излома записывается через дельта-функцию?

Ничего. Кроме того, какое отношение она имеет к задаче?

[epros]

schekn в сообщении #883057 писал(а):

epros в сообщении #883056 писал(а):

Я же сказал, что в координатах кривизны в пределе тонкого слоя будет разрыв метрики

Я это тоже сказал, ссылаясь на Лайтмана, а потом подробно показал это для тонкой сферы. Это та же задача в пределе, если устремить толщину оболочки к нулю.

Нет, это не та же задача, а задача в непригодных для наших целей координатах. И я не понимаю почему Вы с таким упорством к ней всё время возвращаетесь.

schekn в сообщении #883057 писал(а):

epros в сообщении #883056 писал(а):

Вы провоцируете меня на то, чтобы я специально для Вас выписал полное решение?

Это была Ваша обязанность, на минуточку, раз это Ваша задача. А Вы сваливаете ее на других.

Это была не моя задача. Это было моё пояснение для топикстартера на тему «что и как считать». И он, судя по всему, всё понял. В отличие от Вас.

schekn в сообщении #883057 писал(а):

epros в сообщении #883056 писал(а):

Что может быть непонятного в том, что вторая производная функции в точке её излома записывается через дельта-функцию?

Ничего. Кроме того, какое отношение она имеет к задаче?

Я должен опять объяснять, зачем нам нужно считать вторые производные метрики на сфере? Через два поста после того, как сделал это в последний раз?

[Someone]

epros, Вы зря тратите время. Что бы Вы ни говорили, он с упорством маньяка будет твердить своё. А доводов он не воспринимает, поскольку их не понимает, да и не хочет понимать. Чего стóит только его попытка склейки "на предыдущей страницы".

[schekn]

Someone в сообщении #883069 писал(а):

epros, Вы зря тратите время. Что бы Вы ни говорили, он с упорством маньяка будет твердить своё.

Я думал Вы пришли помочь, и не устраивать склоку.

-- 02.07.2014, 10:41 --

epros в сообщении #883063 писал(а):

И он, судя по всему, всё понял. В отличие от Вас.

Ну я и говорю, вопрос видимо придется адресовать к нему.

-- 02.07.2014, 10:43 --

Someone в сообщении #883069 писал(а):

Чего стóит только его попытка склейки

А чего Вас попытка не устраивает? Показал, что неудачная.

[Nirowulf]

Nirowulf в сообщении #869842 писал(а):

Ответ вроде простой, метрика Шварцшильда ведь статичная.

$$E=mc^2\sqrt{g_{00}}=mc^2\sqrt{1-\frac{r_s}{r}},$$

где $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ это радиус Шварцшильда для тела массы $M,$ в поле которого движется частица массы $m.$

Прошу простить за безумный некропостинг! Однако, вернулся к данной теме, и нарисовалась следующая выкладка. Пускай будет тут, если модераторы не возражают.

В поле Шварцшильда, создаваемого массой $M$, для покоящегося на радиусе $r$ камня массы $m << M$ энергия будет $E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}},$ где $R_S = \frac{2GM}{c^2}$.

Пускай наш камень расположен на радиусе $r_0,$ тогда $E_0 = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}}.$ После поднятия камня вдоль радиуса на $\Delta l$ его энергия будет $E_{\Delta l} = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0+\Delta l}}.$

Таким образом, считая, что $\Delta l << r_0$, изменение энергии камня при поднятии будет

$$ \Delta E = E_{\Delta l} - E_0 = m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0+\Delta l}} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) = m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0 (1+\frac{\Delta l}{r_0})}} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) \approx $$

$$\approx m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0} (1-\frac{\Delta l}{r_0})} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) = m c^2 \left( \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0} + \frac{R_S}{r^2_0} \Delta l} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) =$$

$$=m c^2 \left( \sqrt{\left( 1-\frac{R_S}{r_0} \right) \left(1 + \frac{R_S}{r_0(r_0-R_S)} \Delta l \right)} - \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \, \right) =$$ $$= m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \left( \sqrt{\left(1 + \frac{R_S}{r_0(r_0-R_S)} \Delta l \right)} - 1 \right) \approx $$

$$\approx m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \left( 1+ \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l - 1 \right) =$$

$$= m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \cdot \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l .$$

Если теперь ещё учесть, что $R_s << r_0,$ то получим

$$\Delta E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r_0}} \cdot \frac{R_S}{2 r_0(r_0-R_S)} \Delta l \approx m c^2 \frac{R_S}{2 r^2_0} \Delta l = m \frac{GM}{r^2_0} \Delta l = m g_0 \Delta l,$$

где $g_0=\frac{GM}{r^2_0} -$ ускорение свободного падения в $r_0.$

[Nirowulf]

epros в сообщении #866440 писал(а):

Отсюда изменения плотности гравитационной энергии:
$ \Delta \rho = -\frac{g \Delta g}{4 \pi G}$
Проинтегрировав по $g$:
$ \rho = -\frac{g^2}{8 \pi G}$.

Все эти формулки хороши тем, что применимы как в ньютоновской механике, так и в ОТО.

Ландафшиц для ньютоновского приближения получает по сути такую же формулу (задача № 1 после параграфа № 106 во втором томе), пользуясь теоремой Гаусса в виде уравнения Пуассона:

(Выдержка из ЛЛ2)

Метрика в таком приближении есть

$$g_{\mu \nu} = \operatorname{diag} \left(1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi, \, -1+\frac{2G}{c^2} \varphi \right).$$

Потенциал $\varphi$ зависит только от координат и уже не содержит в себе $G$ (мне так удобнее, а вот у ЛЛ в потенциале зашита $G$).

Плотность энергии получается из действия, причём ЛЛ берёт действие с первыми производными

$$S_E=-\frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right).$$

С точностью до членов первого порядка по $G$ получается

$$S_E = -\frac{G}{8 \pi} \int d^4 x (\nabla \varphi)^2,$$

откуда следует, что плотность гравитационной энергии

$$W= -\frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2.$$

Причём ЛЛ делают оговорку, что это выражение не совпадает с компонентной $(-g) t_{00}$ их псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Данная компонента для рассматриваемой метрики у меня получилась следующая (с точностью до членов первого порядка по $G$):

$$(-g) t_{00}=-7 \frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2.$$

Однако, если взять действие Эйнштейна-Гильберта (со вторыми производными)

$$S_{EH}=-\frac{c^4}{16 \pi G} \int d^4x \sqrt{-g} \, R,$$

то оно с точностью до членов первого порядка по $G$ равно

$$S_{EH} = 5\frac{G}{8 \pi} \int d^4 x (\nabla \varphi)^2.$$

Откуда по рецепту ЛЛ следует плотность энергии гравитационного поля

$$W= -7\frac{G}{8 \pi} (\nabla \varphi)^2,$$

которая совпадает с компонентной $(-g) t_{00}$ псевдотензора ЛЛ.

[piksel]

Nirowulf в сообщении #1563196 писал(а):

Nirowulf в сообщении #869842 писал(а):

Ответ вроде простой, метрика Шварцшильда ведь статичная.

$$E=mc^2\sqrt{g_{00}}=mc^2\sqrt{1-\frac{r_s}{r}},$$

где $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ это радиус Шварцшильда для тела массы $M,$ в поле которого движется частица массы $m.$

Однако, вернулся к данной теме, и нарисовалась следующая выкладка. Пускай будет тут, если модераторы не возражают.

В поле Шварцшильда, создаваемого массой $M$, для покоящегося на радиусе $r$ камня массы $m << M$ энергия будет $E = m c^2 \sqrt{1-\frac{R_S}{r}},$ где $R_S = \frac{2GM}{c^2}$.

Это выражение для энергии основано на ее связи с первой компонентой ковариантного вектора энергии-импульса материальной частицы $p_0$. Но такой подход имеет ряд подводных камней. Поскольку физические скорости для малых скоростей приближаются к контравариантным скоростям $u^k$, k=1,2,3, то, физические импульсы соответствуют компонентам контравариантного вектора энергии-импульса $p^i=cmu^i$. Если связывать физические импульсы с ковариантным вектором, то оказывается, что они будут направлены в противоположную сторону по сравнению со скоростью.
Для свободно движущейся частицы энергия $cp_0$ остается постоянной, но конфигурация гравитационного поля меняется, поэтому если ее связывать с энергией, то это не отражает энергообмен с гравитационным полем.
Эти противоречия отсутствуют, если связывать энергию и импульс частицы с компонентами контравариантного вектора. Запишем для него уравнения Лагранжа.
Для лагранжиана материальной частицы

$$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}$$

получаем уравнения Эйлера-Лагранжа

$$\frac{dp_i}{ds}=F_i,$$

где

$$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }.$$

Поднимая индексы, находим

$$\frac{dp^{k} }{ds} +mg^{k{\kern 1pt} \lambda } \frac{\partial g_{\lambda {\kern 1pt} i} }{\partial x^{j} }\frac{dx_j}{ds} p^{i}=F^{k}, $$

где

$$F^{k} =g^{k\lambda }\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } } =\frac{1}{2}mg^{k\lambda } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{\lambda } }\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}. $$

Второй член в левой части этого уравнения связывается с импульсами, которыми обменивается частица с гравитационным полем при движении в нем (см. книгу Динамика в общей теории относительности: вариационные методы).

В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет

$$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$

Для свободно движущейся частицы компонента вектора силы $F^0$ равна нулю, поэтому возрастание ее энергии происходит за счет приобретения отрицательной энергии гравитационным полем. В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами. При приближении к $r_s$ энергия частицы в фиксированной неподвижной системе отсчета неограниченно возрастает, но ее поглощение ЧД очевидно не будет описываться метрикой Шварцшильда.

[chislo_avogadro]

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами.

Но ведь в таком понимании нелокализуемость будет присуща любому полю. Однако по известным причинам о ней говорят лишь в связи с энергией гравитационного поля.

-- 18.09.2022, 22:05 --

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет

$$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$

Видимо, с точностью до наоборот?

[piksel]

chislo_avogadro в сообщении #1564940 писал(а):

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами.

Но ведь в таком понимании нелокализуемость будет присуща любому полю. Однако по известным причинам о ней говорят лишь в связи с энергией гравитационного поля.

Да, согласен.

chislo_avogadro в сообщении #1564940 писал(а):

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет

$$E=g^{00}сp_0=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}.$$

Видимо, с точностью до наоборот?

Именно так.

[Geen]

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

они будут направлены в противоположную сторону

Ну может быть хватит эту мантру повторять?

[piksel]

Geen в сообщении #1564949 писал(а):

piksel в сообщении #1564903 писал(а):

они будут направлены в противоположную сторону

Ну может быть хватит эту мантру повторять?

Почему повторять, где вы ее еще видели?