Вычисление суммы экспонент

[apt]

Имеем

$$\Delta \Phi_k=\alpha \gamma_k k^{2/3}-(k-1)T\ln(S)$$

$$\gamma_k=\frac{2(k_0-1)}{3k^{2/3}(\lambda+2\delta)}$$

где $k_0$ является действительным решением уравнения

$$k_0=\frac{1}{2}(\lambda+2\delta)\left[2(k-k_0)^{2/3}+3\lambda(k-k_0)^{1/3}+\lambda^2\right]$$

$$n_k=n_1\exp\left(-\frac{\Delta\Phi_k}{T}\right)$$

и нужно вычислить сумму

$$\sum_{k=1}^{\infty}k^{7/6}n_k$$

При этом известно, что

$$Z=1-\kappa S;\quad \kappa=\exp\left[-\frac{2\alpha}{3(\lambda+2\delta)T}\right];\quad S=\frac{2n_1}{n_a}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}n_k\simeq n_1Z^{-1}$$

$$n_a=\sum_{k=1}^{\infty}kn_k\simeq n_1Z^{-2}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}k^{1/2}n_k\simeq n_1Z^{-3/2}$$

Значения вышеприведённых трёх сумм не точные и явно были посчитаны (не мной) исходя из каких-то упрощений
Я же даже представить не могу, как можно подступиться к этим суммам (но стремление искать везде закономерности говорит мне, что моя сумма должна быть равна $n_1Z^{-13/6}$)
Может быть, каким-то образом аппроксимировать функцию под суммой и посчитать интеграл?
Важно ещё то, что наибольший вклад в сумму могут давать слагаемые, для которых $k\sim1$, но это не так важно, как получить аналитическую формулу

[svv]

Если я правильно понял, $k_0$ зависит от переменной $k$? (и тогда это очень неудачное обозначение)

[svv]

Подставим формулу для $\gamma_k$ в формулу $\Delta\Phi_k$, а её в $n_k$, а её в Вашу сумму (где фиксированный показатель степени $\frac 7 6$ заменим переменной $\mu$). Используем определённую выше величину $\kappa$. Получим:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu} n_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu}\; n_1\kappa^{k_0-1}S^{k-1}=\dfrac{n_1}{\kappa S}\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu}\kappa^{k_0}S^k$

apt в сообщении #1564534 писал(а):

Значения вышеприведённых трёх сумм не точные и явно были посчитаны (не мной) исходя из каких-то упрощений

Исходя из этих выражений для сумм, я думаю, что использовано приближение $k_0\approx k$ (понятия не имею, на чём оно основано, более того, оно мне не кажется корректным, потому что плохо согласуется с уравнением для $k_0$). Тогда
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu} n_k\approx\dfrac{n_1}{z}\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu}z^k,$
где $z=\kappa S=1-Z$.

В частных случаях $\mu=0, \mu=1$, используя хорошо известные формулы, получим:
$\begin{array}{l}\sum\limits_{k=1}^{\infty}n_k\approx\dfrac{n_1}{z}\sum\limits_{k=1}^\infty z^k=\dfrac{n_1}{z}\dfrac{z}{1-z}=n_1 Z^{-1}\\[2ex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}k n_k\approx\dfrac{n_1}{z}\sum\limits_{k=1}^\infty k z^k=\dfrac{n_1}{z}\dfrac{z}{(1-z)^2} = n_1 Z^{-2}\end{array}$

При произвольном $\mu$ Ваша сумма выражается (в принятом приближении) через полилогарифм, определённый как
$\operatorname{Li}_s(z)=\sum\limits_{k=1}^\infty k^{-s}{z^k}$
С его использованием
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{\mu} n_k\approx \dfrac{n_1}{z}\operatorname{Li}_{-\mu}(z)$
Мне не удалось найти каких-то простых формул для $\mu=\frac 1 2$ и тем более $\mu=\frac 7 6$. Но полилогарифм хорошо изучен и, может быть, его свойства Вам пригодятся.

[apt]

svv в сообщении #1564581 писал(а):

Исходя из этих выражений для сумм, я думаю, что использовано приближение $k_0\approx k$ (понятия не имею, на чём оно основано, более того, оно мне не кажется корректным, потому что плохо согласуется с уравнением для $k_0$).

Действительно предположение странное, однако при $k<50$(та цифра, до которой как минимум необходимо вычислять эти суммы) и требуемой точности вычислений мне кажется можно оставить и так. Тем более если взять $k_0=0.4k$, данное предположение более-менее выполняется до $k=300$ - этого вполне хватает.
По сути можно бы аппроксимировать $k_0=f(k)$ чем-то вроде логарифма или степенной функции (более простой, чем та, которая получается из решения), но тогда не получится полилогарифма

svv в сообщении #1564581 писал(а):

Мне не удалось найти каких-то простых формул для $\mu=\frac 1 2$

Выражение для $\mu=\frac 1 2$ было получено исходя из, цитата

Источник моего недосыпа писал(а):

Исходя из того, что мы можем написать $\sum_{k=1}^{\infty}k^{1/2}z^{k-1}\approx Z^{-3/2}$ с точность более 6% для $Z>0.4$, мы можем посчитать сумму $\sum_{k=1}^{\infty}k^{1/2}n_k\approx n_1Z^{-3/2}$

где $z=\kappa S$

svv в сообщении #1564581 писал(а):

Но полилогарифм хорошо изучен и, может быть, его свойства Вам пригодятся.

Да, спасибо большое