Сложение угловых скоростей

[ohart]

У Иродова есть задача 1.55:

Цитата:

Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ω1 = 3,0 рад/с и ω2 = 4,0 рад/с. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого.

В ответе $\omega=\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}$
Тем не менее, если я считаю в системе отсчета первого тела угловую скорость произвольной точки второго тела, я получаю, что она зависит от положения точки относительно осей вращения. Вот мои выкладки:

Возьмем систему отсчета, в которой первое тело неподвижно. За центр системы отсчета примем точку пересечения осей вращения двух тел. Тогда каждая точка второго тела в этой системе отсчета будет участвовать в каждый момент времени в двух вращательных движениях: со скоростью $-\omega_1$ вокруг неподвижной оси и со скоростью $\omega_2$ вокруг вращающейся оси. Рассмотрим произвольную точку второго тела, лежащую на плоскости, проходящей через центр системы отсчета и перпендикулярную оси вращения первого тела. Расстояние от этой точки до начала системы отсчета обозначим за $R$, расстояние до оси вращения второго тела (в данный момент) за $\rho$.
Тогда $\vec{dr}=\vec{dr_1}+\vec{dr_2}$, |$\vec{dr_1}|=\omega_1 Rdt$, |$\vec{dr_2}|=\omega_2 \rho dt$, $|\vec{dr}|=\sqrt{\rho^2\omega_2^2+R^2\omega_1^2}dt$
Поскольку мы ищем угловую скорость относительно центра системы отсчета, и поскольку $\vec{dr}\perp \vec{r}$, имеем $\dot{\varphi}=\frac{|\dot{\vec{dr}}|}{R}=\sqrt{(\frac{\rho}{R})^2\omega_2^2+\omega_1^2}$
Таким образом, в каждый момент времени различные точки второго тела имеют различную угловую скорость.
В связи с этим вопросы:
1) Где я ошибаюсь в своих рассуждениях, если я ошибаюсь?
2) Если ошибки нет, то видимо я неправильно понимаю что такое "угловая скорость одного тела относительно другого". Тогда что это?
Заранее спасибо за помощь!

P.S. Хотел вставить картинку с пояснениями, вылезает ошибка "Не удалось определить размеры изображения". Пробовал через несколько разных сервисов шаринга картинок

[DimaM]

ohart в сообщении #1564438 писал(а):

Тогда каждая точка второго тела в этой системе отсчета будет участвовать в каждый момент времени в двух вращательных движениях: со скоростью $-\omega_1$ вокруг неподвижной оси и со скоростью $\omega_2$ вокруг вращающейся оси.

Нет, будет два вращения плюс еще движение по окружности. Также не вполне понятно, что такое в ваших обозначениях $r$.

[ohart]

DimaM в сообщении #1564439 писал(а):

Также не вполне понятно, что такое в ваших обозначениях $r$.

$r$ - радиус вектор рассматриваемой точки.

DimaM в сообщении #1564439 писал(а):

Нет, будет два вращения плюс еще движение по окружности.

Я имел в виду под "вращательным движением" как раз движение по окружности. Я рассматриваю точку, а не все тело, поэтому мне кажется такой подход корректен.

[rascas]

ohart в сообщении #1564438 писал(а):

Поскольку мы ищем угловую скорость относительно центра системы отсчета,

Угловая скорость возможна только относительно системы отсчёта. Не относительно центра!

ohart в сообщении #1564438 писал(а):

имеем $\dot{\varphi}=\frac{|\dot{\vec{dr}}|}{R}$

Ошибка, что в знаменателе $R$.

[ohart]

rascas в сообщении #1564442 писал(а):

Угловая скорость возможна только относительно системы отсчёта. Не относительно центра!

Можете пояснить это? Я же вычисляю угловую скорость движения точки. Вектор ее перемещения перпендикулярен ее радиус-вектору, поэтому я могу считать ее движение в каждый момент времени движением по окружности, центр которой находится в центре системы отсчета.

rascas в сообщении #1564442 писал(а):

Ошибка, что в знаменателе $R$.

А что должно быть?

[DimaM]

ohart
В общем случае $\vec{dr}_1$ не перпендикулярен $\vec{dr}_2$.
Правильно писать в векторном виде. Выберем радиус-вектор $\vec{r}$ от точки пересечения осей до произвольной точки второго тела. Тогда мгновенная скорость этой точки равна

$$\vec{v}=\vec{\omega}_1\times\vec{r}+\vec{\omega}_2\times\vec{r}=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times\vec{r}\equiv\vec{\omega}\times\vec{r}.$$

Отсюда $\vec{\omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2$.

[ohart]

DimaM в сообщении #1564445 писал(а):

ohart
В общем случае $\vec{dr}_1$ не перпендикулярен $\vec{dr}_2$.
Правильно писать в векторном виде. Выберем радиус-вектор $\vec{r}$ от точки пересечения осей до произвольной точки второго тела. Тогда мгновенная скорость этой точки равна

$$\vec{v}=\vec{\omega}_1\times\vec{r}+\vec{\omega}_2\times\vec{r}=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times\vec{r}\equiv\vec{\omega}\times\vec{r}.$$

Отсюда $\vec{\omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2$.

А почему в слагаемом $\vec{\omega}_2\times\vec{r}$ тоже $\vec{r}$? Ведь второе вращение происходит по другому радиусу.

[rascas]

ohart в сообщении #1564444 писал(а):

Я же вычисляю угловую скорость движения точки.

Точка это не твёрдое тело. У точки возможно только поступательное движение. Угловая скорость у точки невозможна.

ohart в сообщении #1564444 писал(а):

Вектор ее перемещения перпендикулярен ее радиус-вектору, поэтому я могу считать ее движение в каждый момент времени движением по окружности, центр которой находится в центре системы отсчета.

То, что вектор перемещения точки $dr$ перпендикулярен радиус-вектору $r$ это ещё не значит что точка движется по окружности относительно центра системы отсчёта.

[DimaM]

ohart в сообщении #1564446 писал(а):

А почему в слагаемом $\vec{\omega}_2\times\vec{r}$ тоже $\vec{r}$? Ведь второе вращение происходит по другому радиусу.

А вот с этим я вам предлагаю разобраться самостоятельно.
Можно записать $\vec{r}=\vec{R}+\vec{r}_2$, где $\vec{r}_2$ - радиус-вектор от точки до второй оси вращения. Чему тогда будет равно векторное произведение $\vec{\omega}_2\times\vec{r}_2$?

[ohart]

DimaM в сообщении #1564448 писал(а):

Можно записать $\vec{r}=\vec{R}+\vec{r}_2$, где $\vec{r}_2$ - радиус-вектор от точки до второй оси вращения. Чему тогда будет равно векторное произведение $\vec{\omega}_2\times\vec{r}_2$?

Да, логично, спасибо

[DimaM]

ohart
Правильно, конечно, $\vec{r}_2$ - радиус-вектор от второй оси вращения до точки, иначе знак неправильный выйдет.

[ohart]

DimaM, да, теперь я понимаю где у меня была нарушена логика. rascas правильно заметил, что в этой задаче не угловую скорость вокруг центра просят найти, а угловую скорость вращения второго тела в системе отсчета первого, что конечно не одно и то же.
Всем большое спасибо, разобрался.

[svv]

(ohart)

ohart в сообщении #1564438 писал(а):

P.S. Хотел вставить картинку с пояснениями, вылезает ошибка "Не удалось определить размеры изображения". Пробовал через несколько разных сервисов шаринга картинок

Скорее всего, Вы пытались вставить картинку больше предельного размера $800\times 600$, при этом обычно появляется как раз такое сообщение об ошибке (почему-то).

[ohart]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1564473 писал(а):

Скорее всего, Вы пытались вставить картинку больше предельного размера $800\times 600$, при этом обычно появляется как раз такое сообщение об ошибке (почему-то).

Думал об этом, пробовал уменьшить картинку, делал размер < 500px, тот же результат.