Re: 2x^2+1=y^3

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1562368 писал(а):

Если решение правильное

Чтобы это понять, его сначала надо написать на понятном языке. Поэтому повторяю вопрос: что такое у Вас обозначено буквой $a_1$? Верно ли, что $a_1$ --- это наибольший общий делитель чисел $x_2$ и $a$?

-- Ср авг 10, 2022 22:43:02 --

Mitkin в сообщении #1562368 писал(а):

Поэтому вопрос.
Если $p$ простой делитель числа $x_2$, то можно записать $x_1=p^2k\pm 1$
Согласны?

Из уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ следует, что $x_1^4-1=(x_1-1)(x_1+1)(x_1^2+1)$ делится на $p^2$. Если считать $p$ нечетным, то никакие два из трех сомножителей $x_1 \pm 1$ и $x_1^2+1$ одновременно на $p$ делиться не могут. Поэтому либо $x_1-1$ делится на $p^2$, либо $x_1+1$ делится на $p^2$, либо $x_1^2+1$ делится на $p^2$. Почему отметается последняя возможность, я не понимаю. Так что приводите доказательство, если считаете это верным.

[Mitkin]

накосячил, подумаю ещё

[Mitkin]

Уравнение $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ или
$x_1^4-x_2^2x_1^2-x_2^4-1=0$ имеет корни:
$x_1^2=\frac{x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$
или
$(x_3^2-x_2^2)^2-x_3^2x_2^2=1$
$(x_3^2-x_2^2-x_3x_2)(x_3^2-x_2^2+x_3x_2)=1$
что возможно для целых чисел только если:
$(x_3^2-x_2^2-x_3x_2)=(x_3^2-x_2^2+x_3x_2)=\pm 1$
Из последнего вытекает $x_3x_2=0$
Если $x_3=0$, то $x_2=\pm 1$
Если $x_2=0$, то $x_3=\pm 1$

Возвращаясь, к исходному уравнению, мы будем брать для $x_2$ найденные значения.
$x_2=0$, тогда $x_1=\pm 1$
$x_2=\pm 1$, тогда $1+x_1^2-x_1^4+1=0$
или
$x_1^4-x_1^2+2=0$
$x_1^2=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-2}$
Решения в целых числах не будет
Вывод. Решение только тривиальное
$x_2=0$, $x_1=\pm 1$

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):

Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$

Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1563051 писал(а):

Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):

Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$

Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

Если у нас корни существуют для исходного уравнения, то значения для $x_2$ известны. Соответствующий дискриминант будет квадратом числа. Дальше мы нашли другие корни для тех же значений $x_2$, но для другого уравнения. Где противоречие?
Я понял. Квадрат не учитываю.

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1563052 писал(а):

Я понял. Квадрат не учитываю.

Да, именно это.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1563051 писал(а):

Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):

Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$

Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

обоснование, если не ошибаюсь, следует из теоремы Вьета.
У нас $t=x_1^2+x_2^2$, поэтому
если мы покажем, что $x_1^4-1$ есть полный квадрат, то и $t$ будет полным квадратом
А это следует из уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0 $ и теоремы Вьета (Виета)

[nnosipov]

Mitkin
Пишите подробно, я ничего не понял.

[Mitkin]

Уравнение $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ или
$x_1^4-x_2^2x_1^2-x_2^4-1=0$ имеет корни:
$x_1^2=\frac{x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
Дальше мы переходим к уравнению, корнями которого являются
$t=\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
При тех же значениях $x_2$ и найденных, соответственно, $x_1^2$это означает, что
$t=x_1^2+x_2^2$
Если теперь покажем, что найденные решения тривиальны, то задача решена.

С другой стороны, если показать, что $t=x_3^2$, то как было показано выше, такие решения будут тривиальны.
Рассмотрим исходное уравнение:
$x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$
$x_2^2(x_1^2+x_2^2)=x_1^4-1$
или
$x_2^2t=x_1^4-1$
Если правая часть будет полным квадратом, то и левая часть будет полным квадратом, что возможно только если $t$ есть полный квадрат
По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$
Собственно, из теоремы Виета следует сразу тривиальность решения.

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1563068 писал(а):

По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$

Кто такие эти $x_{21}$ и $x_{22}$? Вы доказали, что они являются целыми числами?

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1563070 писал(а):

Mitkin в сообщении #1563068 писал(а):

По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$

Кто такие эти $x_{21}$ и $x_{22}$? Вы доказали, что они являются целыми числами?

Это корни нашего уравнения, если решение найдено (соответственно, известно значение для $x_1^2$). По условию, хотя бы один из них целое число.
Но, если одно из них целое число, то из той же теоремы Виета следует, что и второе является целым числом (сумма корней квадратного уравнения у нас равна $-x_1^2$

-- 18.08.2022, 21:53 --

Мы исходим из того, что решение в целых числах найдено. Если решение найдено, то корни обязаны соблюдать теорему Виета.

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1563071 писал(а):

Это корни нашего уравнения

Какого именно? Какой оно степени? Вы вообще понимаете, что в теореме Виета речь идет о всех корнях уравнения (в том числе и комплексных)?

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1563074 писал(а):

Mitkin в сообщении #1563071 писал(а):

Это корни нашего уравнения

Какого именно? Какой оно степени? Вы вообще понимаете, что в теореме Виета речь идет о всех корнях уравнения (в том числе и комплексных)?

Вот наше уравнение: $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$
Допустим, что решение в целых числах есть. Тогда известно целое значение для $x_1^2$. Соответственно, известно хотя бы одно целое значение и для $x_2^2$
обозначим $z=x_2^2$, тогда одно из значений для $z$ нам известно, а мы имеем квадратное уравнение:
$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$
Для этого уравнения должна соблюдаться теорема Виета. Тут два корня.
По составленному условию, одно значение $z_1$ известно и оно целое. $z_1+z_2=-x_1^2$ - целое число. Значит второй корень $z_2$ существует и он, тоже целое число.
По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.
$z_1z_2=-x_1^4+1>0$

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):

По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.

Вы утверждаете, что оба корня квадратного уравнения

Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):

$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$

положительны? Но это очевидно не так: один корень положительный, а другой отрицательный.

Вообще, подобные простейшие логические ошибки пора бы и самому видеть.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1563077 писал(а):

Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):

По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.

Вы утверждаете, что оба корня квадратного уравнения

Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):

$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$

положительны? Но это очевидно не так: один корень положительный, а другой отрицательный.

Вообще, подобные простейшие логические ошибки пора бы и самому видеть.

Хотите сказать, что $x_2$ может быть мнимым. Хорошо, согласен.

Тогда, возвращаемся к полным выкладкам
$z_1>0$
$z_2<0$,
но поскольку $z=x_2^2$, то
$\left\lvert z_1z_2 \right\rvert$ есть полный квадрат.
Не прав