2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение10.08.2022, 18:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1562368 писал(а):
Если решение правильное
Чтобы это понять, его сначала надо написать на понятном языке. Поэтому повторяю вопрос: что такое у Вас обозначено буквой $a_1$? Верно ли, что $a_1$ --- это наибольший общий делитель чисел $x_2$ и $a$?

-- Ср авг 10, 2022 22:43:02 --

Mitkin в сообщении #1562368 писал(а):
Поэтому вопрос.
Если $p$ простой делитель числа $x_2$, то можно записать $x_1=p^2k\pm 1$
Согласны?
Из уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ следует, что $x_1^4-1=(x_1-1)(x_1+1)(x_1^2+1)$ делится на $p^2$. Если считать $p$ нечетным, то никакие два из трех сомножителей $x_1 \pm 1$ и $x_1^2+1$ одновременно на $p$ делиться не могут. Поэтому либо $x_1-1$ делится на $p^2$, либо $x_1+1$ делится на $p^2$, либо $x_1^2+1$ делится на $p^2$. Почему отметается последняя возможность, я не понимаю. Так что приводите доказательство, если считаете это верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение10.08.2022, 21:34 


20/07/22
102
накосячил, подумаю ещё

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 18:42 


20/07/22
102
Уравнение $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ или
$x_1^4-x_2^2x_1^2-x_2^4-1=0$ имеет корни:
$x_1^2=\frac{x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$
или
$(x_3^2-x_2^2)^2-x_3^2x_2^2=1$
$(x_3^2-x_2^2-x_3x_2)(x_3^2-x_2^2+x_3x_2)=1$
что возможно для целых чисел только если:
$(x_3^2-x_2^2-x_3x_2)=(x_3^2-x_2^2+x_3x_2)=\pm 1$
Из последнего вытекает $x_3x_2=0$
Если $x_3=0$, то $x_2=\pm 1$
Если $x_2=0$, то $x_3=\pm 1$

Возвращаясь, к исходному уравнению, мы будем брать для $x_2$ найденные значения.
$x_2=0$, тогда $x_1=\pm 1$
$x_2=\pm 1$, тогда $1+x_1^2-x_1^4+1=0$
или
$x_1^4-x_1^2+2=0$
$x_1^2=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-2}$
Решения в целых числах не будет
Вывод. Решение только тривиальное
$x_2=0$, $x_1=\pm 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 19:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):
Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$
Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 19:30 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1563051 писал(а):
Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):
Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$
Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

Если у нас корни существуют для исходного уравнения, то значения для $x_2$ известны. Соответствующий дискриминант будет квадратом числа. Дальше мы нашли другие корни для тех же значений $x_2$, но для другого уравнения. Где противоречие?
Я понял. Квадрат не учитываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 19:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1563052 писал(а):
Я понял. Квадрат не учитываю.
Да, именно это.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 20:56 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1563051 писал(а):
Mitkin в сообщении #1563044 писал(а):
Если есть такие корни, выраженные через $x_2^2$, то существуют, очевидно и целые числа вида:
$\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$, которые являются корнями в целых числах уравнения:
$x_3^4-3x_2^2x_3^2+x_2^4-1=0$
Вот это место неверно (точнее, нуждается в дополнительном обосновании): указанные числа будут целыми корнями уравнения $t^2-3x_2^2t+x_2^4-1=0$.

обоснование, если не ошибаюсь, следует из теоремы Вьета.
У нас $t=x_1^2+x_2^2$, поэтому
если мы покажем, что $x_1^4-1$ есть полный квадрат, то и $t$ будет полным квадратом
А это следует из уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0 $ и теоремы Вьета (Виета)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 21:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin
Пишите подробно, я ничего не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 21:23 


20/07/22
102
Уравнение $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ или
$x_1^4-x_2^2x_1^2-x_2^4-1=0$ имеет корни:
$x_1^2=\frac{x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
Дальше мы переходим к уравнению, корнями которого являются
$t=\frac{3x_2^2}{2}\pm\sqrt{\frac{5x_2^4+4}{4}}$
При тех же значениях $x_2$ и найденных, соответственно, $x_1^2$это означает, что
$t=x_1^2+x_2^2$
Если теперь покажем, что найденные решения тривиальны, то задача решена.

С другой стороны, если показать, что $t=x_3^2$, то как было показано выше, такие решения будут тривиальны.
Рассмотрим исходное уравнение:
$x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$
$x_2^2(x_1^2+x_2^2)=x_1^4-1$
или
$x_2^2t=x_1^4-1$
Если правая часть будет полным квадратом, то и левая часть будет полным квадратом, что возможно только если $t$ есть полный квадрат
По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$
Собственно, из теоремы Виета следует сразу тривиальность решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 21:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1563068 писал(а):
По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$
Кто такие эти $x_{21}$ и $x_{22}$? Вы доказали, что они являются целыми числами?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 21:51 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1563070 писал(а):
Mitkin в сообщении #1563068 писал(а):
По теореме Виета для корней уравнения $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$ справедливо
$x_{21}^2x_{22}^2=-x_1^4+1$
Кто такие эти $x_{21}$ и $x_{22}$? Вы доказали, что они являются целыми числами?

Это корни нашего уравнения, если решение найдено (соответственно, известно значение для $x_1^2$). По условию, хотя бы один из них целое число.
Но, если одно из них целое число, то из той же теоремы Виета следует, что и второе является целым числом (сумма корней квадратного уравнения у нас равна $-x_1^2$

-- 18.08.2022, 21:53 --

Мы исходим из того, что решение в целых числах найдено. Если решение найдено, то корни обязаны соблюдать теорему Виета.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 22:06 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1563071 писал(а):
Это корни нашего уравнения
Какого именно? Какой оно степени? Вы вообще понимаете, что в теореме Виета речь идет о всех корнях уравнения (в том числе и комплексных)?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 22:23 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1563074 писал(а):
Mitkin в сообщении #1563071 писал(а):
Это корни нашего уравнения
Какого именно? Какой оно степени? Вы вообще понимаете, что в теореме Виета речь идет о всех корнях уравнения (в том числе и комплексных)?

Вот наше уравнение: $x_2^4+x_2^2x_1^2-x_1^4+1=0$
Допустим, что решение в целых числах есть. Тогда известно целое значение для $x_1^2$. Соответственно, известно хотя бы одно целое значение и для $x_2^2$
обозначим $z=x_2^2$, тогда одно из значений для $z$ нам известно, а мы имеем квадратное уравнение:
$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$
Для этого уравнения должна соблюдаться теорема Виета. Тут два корня.
По составленному условию, одно значение $z_1$ известно и оно целое. $z_1+z_2=-x_1^2$ - целое число. Значит второй корень $z_2$ существует и он, тоже целое число.
По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.
$z_1z_2=-x_1^4+1>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 22:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):
По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.
Вы утверждаете, что оба корня квадратного уравнения
Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):
$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$
положительны? Но это очевидно не так: один корень положительный, а другой отрицательный.

Вообще, подобные простейшие логические ошибки пора бы и самому видеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2x^2+1=y^3
Сообщение18.08.2022, 23:58 


20/07/22
102
nnosipov в сообщении #1563077 писал(а):
Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):
По условию должно выполняться $z=x_2^2>0$.
Вы утверждаете, что оба корня квадратного уравнения
Mitkin в сообщении #1563076 писал(а):
$z^2+x_1^2z-x_1^4+1=0$
положительны? Но это очевидно не так: один корень положительный, а другой отрицательный.

Вообще, подобные простейшие логические ошибки пора бы и самому видеть.

Хотите сказать, что $x_2$ может быть мнимым. Хорошо, согласен.

Тогда, возвращаемся к полным выкладкам
$z_1>0$
$z_2<0$,
но поскольку $z=x_2^2$, то
$\left\lvert z_1z_2 \right\rvert$ есть полный квадрат.
Не прав

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group