как задается кубит?

[granit201z]

здравствуйте. есть ли какие то ограничения на числа, которые задают кубит?
$(x_1+iy_1)\left\lvert0\right\rangle+(x_2+iy_2)\left\lvert1\right\rangle$
должны ли в этой формуле действительные составляющие комплексного числа быть больше по модулю, чем мнимые из соображений, что вероятность не может быть отрицательна? должны ли векторы, представленные этими числами, лежать на единичной окружности?
или единственное ограничение - это то, что сумма их квадратов (да и как понять "квадратов"? - ведь комплексное сопряжение не квадрат числа) равна единице?
причем если "квадрат" получился отрицательным, то все равно берется со знаком $+$ и представляет собой вероятность?

[mihaild]

Сумма квадратов модулей координат должна быть равна $1$. В ваших обозначениях - $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = 1$. Вероятность получить какой-то результат при измерении равна квадрату модуля соответствующей компоненты.

А по какому источнику вы изучаете квантовые вычисления, что там такие вещи не прописаны? Это должно быть в определениях.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1562795 писал(а):

по какому источнику вы изучаете квантовые вычисления, что там такие вещи не прописаны? Это должно быть в определениях

Нильсен, Чанг "Квантовые вычисления и квантовая информация"

mihaild в сообщении #1562795 писал(а):

обозначениях - $x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = 1$. Вероятность получить какой-то

спасибо большое. я вьехал наконец-таки. два дня буксовал. загвоздка была в том, что при комплексном сопряжении я $(-1) $ прозевал и два дня не обращал на это внимания, полагая что так и надо. то есть вместо $x_1^2 - (-1)y_1^2 + x_2^2 - (-1)y_2^2 = 1$ я записал $x_1^2 - y_1^2 + x_2^2 - y_2^2 = 1$.

[mihaild]

Ну да, там на 34 странице как раз условие нормировки. Понятие модуля комплексного числа, видимо, считается известным.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1562795 писал(а):

Сумма квадратов модулей координат должна быть равна $1$

А вот еще один вопрос созрел по прошествии некоторого времени. А как же работает сфера Блоха? Ведь кубит задается четырьмя действительными числами, а точка на сфере тремя.

[DimaM]

granit201z в сообщении #1573412 писал(а):

А как же работает сфера Блоха? Ведь кубит задается четырьмя действительными числами, а точка на сфере тремя.

Так модуль же единица - поэтому независимых чисел только три.

[granit201z]

DimaM в сообщении #1573414 писал(а):

Так модуль же единица - поэтому независимых чисел только три.

тогда все-равно несостыковка получается. Т. к. сфера единичная, то независимых чисел на ней два

[Osmiy]

granit201z в сообщении #1573417 писал(а):

DimaM в сообщении #1573414 писал(а):

Так модуль же единица - поэтому независимых чисел только три.

тогда все-равно несостыковка получается. Т. к. сфера единичная, то независимых чисел на ней два

В русско-язычной википедии про сферу Блоха подробно описано и объяснено, почему чистое состояние кубита описывается двумя вещественными числами. Если кратко, одно число сокращается из-за условия нормировки, второе из-за неважности фаз волновых функций, важна только разность фаз.

[mihaild]

Мне нравится думать так: разрешим состоянию кубита быть произвольным вектором, не обязательно единичным (просто в конце поделим на норму). Тогда состояние кубита задается 2 комплексными числами. Но если умножить его состояние на произвольное ненулевое комплексное число, то ничего наблюдаемого не изменится, поэтому одно из этих двух комплексных чисел можно выбрать произвольно, и состояние кубита будет описываться вторым комплексным числом, т.е. парой вещественных.
(тут нужно обговорить что делать если одна из координат нулевая, но интуиции это ИМХО не мешает)

[granit201z]

Osmiy в сообщении #1573421 писал(а):

русско-язычной википедии про сферу Блоха подробно описано и объяснено, почему чистое состояние кубита описывается двумя вещественными числами.

mihaild в сообщении #1573436 писал(а):

состояние кубита будет описываться вторым комплексным числом, т.е. парой вещественных.

А почему тогда сфера Блоха сама по себе не используется как кубит? Ведь ее техническая реализация гораздо проще, чем реализация кубита микрообьектами. Например показания магнитометра или акселерометра по сути и есть реализация сферы Блоха. А операторы над ней - это просто повороты датчика в пространстве.

[mihaild]

Потому что один кубит никому не нужен, его можно реализовать и просто как пару чисел с плавающей запятой. Нужны запутанные кубиты, а для них такая модель уже не годится.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573493 писал(а):

Нужны запутанные кубиты, а для них такая модель уже не годится.

Т. е. кубит отдельно, а запутывание отдельно. Это не неотьемлемое свойство такой математической структуры, как кубит?

[mihaild]

Ключевой момент - как связано пространство состояний системы из нескольких элементов с пространством состояний элементов.
Для классической системы пространство её состояний - это прямое произведение пространств состояний её элементов. Для квантовой системы пространство её состояний - это тензорное произведение пространств состояний её элементов.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1573497 писал(а):

Для классической системы пространство её состояний - это прямое произведение пространств состояний её элементов. Для квантовой системы пространство её состояний - это тензорное произведение пространств состояний её элементов.

Помогите разобраться в сказанном.
Если для двух классических битов их общее пространство состояний прямое произведение и выглядит так:
$\left\lbrace 00; 01; 10; 11 \right\rbrace$
то что подразумевается под вторым предложением? для 2х кубитов.

-- 12.12.2022, 00:17 --

понял только что для 2-х кубитов получается матрица из 4-х комплексных чисел как произведение матрицы строки (2 числа от первого кубита) и матрицы столбца (2 числа от второго кубита).
Но как все это связано со спутанностью?

[mihaild]

Нет, если у нас биты дискретные, то никаких комплексных чисел не возникает.
Тензорное произведение одномерных пространств неинтересно (оно одномерно), интересное начинается если мы перемножаем пространства размерности 2 или больше, над каким полем - неважно.

Допустим, что у нас три элемента, каждый из двумерного векторного пространства: $\langle x_1, y_1\rangle$, $\langle x_2, y_2\rangle$, $\langle x_3, y_3\rangle$.
Тогда у прямого произведения первых двух будет базис $\{x_1, y_1, x_2, y_2\}$, а у тензорного - $\{x_1 \otimes x_2, x_1 \otimes y_2, y_1 \otimes x_2, y_1 \otimes y_2\}$. Пока что разница неочевидна, но это потому что $n \cdot 2 = 2^n$ при $n = 2$.
Если же мы возьмем прямое произведение всех трёх, то у него будет базис $\{x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3\}$. У тензорного произведения всех трёх будет базис $\{x_1 \otimes x_2 \otimes x_3, x_1 \otimes y_2 \otimes x_3, y_1 \otimes x_2 \otimes x_3, y_1 \otimes y_2 \otimes x_3, x_1 \otimes x_2 \otimes y_3, x_1 \otimes y_2 \otimes y_3, y_1 \otimes x_2 \otimes y_3, y_1 \otimes y_2 \otimes y_3\}$ - размерность уже разная.

С запутанностью это связано следующим образом: в классическом случае состояния подсистемы независимы: задав состояние всех подсистем мы полностью определили состояние системы. В квантовом это не так, и это видно из того, что в базис тензорного произведения входят не базисные вектора исходных подсистем, а кортежи этих векторов.