Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n

[Lia]

Часть темы отделена в Карантин.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1561108 писал(а):

но есть пара нюансов

Пока увидел только один нюанс (по сравнению с уравнением $x^2+1=y^n$). А именно, нужно отдельно рассмотреть уравнение $2x^2+1=3^n$, оно-то и дает единственные нетривиальные решения. Я что-то упускаю?

[Mitkin]

откуда такой вывод?

[nnosipov]

Mitkin
Это быстро не объяснишь. Вы решили уравнение $2x^2+1=y^3$? Это первый шаг на пути понимания метода, с помощью которого решается данная задача.

[mathematician123]

У меня получилось такое решение:

Пусть $n$ --- нечётное простое. Применяем факториальность $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ и получаем $\sqrt{-2} x + 1 = (a + b \sqrt{-2})^n$ для некоторых целых $a$ и $b$. Приравняем действительные части и получим $1 = \frac12 ((a + b \sqrt{-2})^n + (a - b \sqrt{-2})^n) $. Если расписать это через биномиальные коэффициенты, то можно получить, что $a = 1$. Пусть $f(b) = \frac{\frac12 ((1 + b \sqrt{-2})^n + (1 - b \sqrt{-2})^n) - 1}{nb^2} $. Тогда задача свелась к нахождению корней уравнения $f(b) = 0$. Если $p$ --- простой делитель числа $b$, то можно показать, что равенство $f(b) = 0$ невозможно по модулю некоторой степени числа $p$. Таким образом, $b = \pm 1$. Откуда получается, что $y = 3$.

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 1 = 3^n$.

$$ 3 (3^{\frac{n-1}{2}})^2 - 2x^2 = 1$$

Решения уравнения $3v^2 - 2u^2 = 1$ обладают следующим свойством: если $v$ делится на 3, то $u$ делится на 11. Значит, $x$ делится на 11 (в уравнении $2x^2 + 1 = 3^n$). Тогда $n$ делится на 5. Так как $n$ простое, то $n = 5$.

[nnosipov]

Да, это решение я и имел в виду. Удивительно, но в 2013 году, когда я писал решение задачи про уравнение $2x^2+1=3^n$ для "Математического просвещения" (сама задача была опубликована в 16-м выпуске "Мат. прос.", а ее решение появилось в следующем 17-м), мне не пришло в голову написать и это обобщение. Кстати говоря, позднее удалось найти наиболее раннее упоминание об уравнении $2x^2+1=3^n$: оно было решено в статье Ahn J., Kim H.K., Kim J.S., Kim M. Classification of perfect linear codes with crown poset structure // Discrete Math. 2003. Vol. 268. P. 21—30. В 2010-х годах этот сюжет был довольно популярен и обсуждался на разных форумах.

Напишу-ка я про это обобщение задачи 16.11 Канель-Белову, он как раз ведет "Задачник" в "Мат. прос." и в последнее время завел рубрику "Дополнения и комментарии к задачнику", где публикует подобного рода вещи.

[Lia]

Lia в сообщении #1561587 писал(а):

Часть темы отделена в Карантин.

То, что было оформлено, отправилось в «Re: 2x^2+1=y^3».
Флуд от Mitkin удален.