2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение31.07.2022, 21:25 
Модератор


20/03/14
11996
 i  Часть темы отделена в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение05.08.2022, 21:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8786
mathematician123 в сообщении #1561108 писал(а):
но есть пара нюансов
Пока увидел только один нюанс (по сравнению с уравнением $x^2+1=y^n$). А именно, нужно отдельно рассмотреть уравнение $2x^2+1=3^n$, оно-то и дает единственные нетривиальные решения. Я что-то упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение05.08.2022, 23:15 


20/07/22
84
откуда такой вывод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение05.08.2022, 23:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8786
Mitkin
Это быстро не объяснишь. Вы решили уравнение $2x^2+1=y^3$? Это первый шаг на пути понимания метода, с помощью которого решается данная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение06.08.2022, 01:00 


21/04/22
152
У меня получилось такое решение:

Пусть $n$ --- нечётное простое. Применяем факториальность $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ и получаем $\sqrt{-2} x + 1 = (a + b \sqrt{-2})^n$ для некоторых целых $a$ и $b$. Приравняем действительные части и получим $1 = \frac12 ((a + b \sqrt{-2})^n + (a - b \sqrt{-2})^n) $. Если расписать это через биномиальные коэффициенты, то можно получить, что $a = 1$. Пусть $f(b) = \frac{\frac12 ((1 + b \sqrt{-2})^n + (1 - b \sqrt{-2})^n) - 1}{nb^2} $. Тогда задача свелась к нахождению корней уравнения $f(b) = 0$. Если $p$ --- простой делитель числа $b$, то можно показать, что равенство $f(b) = 0$ невозможно по модулю некоторой степени числа $p$. Таким образом, $b = \pm 1$. Откуда получается, что $y = 3$.

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 1 = 3^n$.
$$ 3 (3^{\frac{n-1}{2}})^2 - 2x^2 = 1$$
Решения уравнения $3v^2 - 2u^2 = 1$ обладают следующим свойством: если $v$ делится на 3, то $u$ делится на 11. Значит, $x$ делится на 11 (в уравнении $2x^2 + 1 = 3^n$). Тогда $n$ делится на 5. Так как $n$ простое, то $n = 5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение06.08.2022, 08:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8786
Да, это решение я и имел в виду. Удивительно, но в 2013 году, когда я писал решение задачи про уравнение $2x^2+1=3^n$ для "Математического просвещения" (сама задача была опубликована в 16-м выпуске "Мат. прос.", а ее решение появилось в следующем 17-м), мне не пришло в голову написать и это обобщение. Кстати говоря, позднее удалось найти наиболее раннее упоминание об уравнении $2x^2+1=3^n$: оно было решено в статье Ahn J., Kim H.K., Kim J.S., Kim M. Classification of perfect linear codes with crown poset structure // Discrete Math. 2003. Vol. 268. P. 21—30. В 2010-х годах этот сюжет был довольно популярен и обсуждался на разных форумах.

Напишу-ка я про это обобщение задачи 16.11 Канель-Белову, он как раз ведет "Задачник" в "Мат. прос." и в последнее время завел рубрику "Дополнения и комментарии к задачнику", где публикует подобного рода вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n
Сообщение06.08.2022, 18:33 
Модератор


20/03/14
11996
 i 
Lia в сообщении #1561587 писал(а):
Часть темы отделена в Карантин.

То, что было оформлено, отправилось в «Re: 2x^2+1=y^3».
Флуд от Mitkin удален.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group