Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Vladimir Pliassov]

Тема сообщения: комплексное пространство, в отличие от вещественного, может задаваться по-разному, бесконечным числом способов, соответственно тому, что каждый вектор пространства лежит в бесконечном множестве плоскостей.

1.

В вещественном линейном пространстве умножение вектора на (вещественное) число можно определить как растяжение (сжатие) вектора.

В комплексном линейном пространстве умножение вектора на (комплексное) число можно определить как растяжение (сжатие) вектора плюс поворот.

Здесь возникает вопрос: в какой плоскости должен производиться этот поворот? Ведь в $m$-осном пространстве при числе осей больше двух любой вектор лежит в бесконечном множестве плоскостей.

(Для трехосного пространства это хорошо известно, что же касается пространства с большим числом осей, то в нем любой вектор находится по крайней мере в одном трехосном подпространстве, в котором он лежит в в бесконечном множестве плоскостей по свойствам трехосного пространства.)

(Употребляю выражение "$m$-осное пространство" во избежание недоразумений, которые могут возникать при употреблении выражения "$m$-мерное пространство", которое идет от числа базисных векторов: при одном и том же числе осей число базисных векторов комплексного пространства вдвое меньше числа базисных векторов вещественного пространства (число измерений пространства равно числу базисных векторов).

(Число осей комплексного пространства четно.)

(Число базисных векторов вещественного пространства равно числу осей.)

(Под плоскостью я понимаю двухосное пространство, это может быть либо двухмерное вещественное либо одномерное комплексное пространство.)

2.

Я думаю, можно сделать так: в $2n-$осном пространстве $V$ произвольно выбрать $n$ линейно независимых в вещественном смысле векторов $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots \textbf e_n$ и для каждого из них произвольно (произвольно -- при $n>1$) определить плоскость $\pi_i$ умножения на комплексные числа так, чтобы среди этих плоскостей не было совпадающих (о том, что среди них не может быть никаких двух, пересекающихся в прямой, см. ниже, в п. 4). Тем самым определятся плоскости умножения для всех векторов пространства.

В самом деле, пусть разложение вектора $\textbf a$ по базису $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots \textbf e_n$ в плоскостях $\pi_i$ равно $a_1\textbf e_1+a_2\textbf e_2+ \ldots+ a_n\textbf e_n,$ где $a_1, a_2, \ldots, a_n$ комплексные числа, тогда при умножении $\textbf a$ на комплексное число $\alpha$ имеем $\textbf b=\alpha \textbf a=\alpha a_1\textbf e_1+\alpha a_2\textbf e_2+ \ldots+ \alpha a_n\textbf e_n$ ($\alpha$ умножается на $a_i\textbf e_i$ в плоскости $\pi_i$). При этом вектор $\textbf b$ вместе с вектором $\textbf a$ определяют плоскость умножения $\pi$ для вектора $\textbf a$. Разумеется, что плоскость $\pi$ является плоскостью умножения также и для вектора $\textbf b$.

(Здесь у меня проблема: надо доказать, что при умножении вектора $\textbf a$ на другое комплексное число $\alpha'$ полученный вектор $\alpha'\textbf a$ также лежит в плоскости $\pi$, но я не знаю, как это сделать.)

Таким образом, определено умножение векторов на комплексные числа в пространстве $V.$

Однако при $n>1$ его можно определить по-другому.

Вместо плоскостей $\pi_i$ возьмем плоскости $\rho_i$ при $\pi_i\ne\rho_i$ (достаточно, чтобы хотя бы одно $\pi_i$ не было равно $\rho_i$). Тогда, например, при умножении вектора $\textbf a$ на то же самое комплексное число $\alpha$ получим (в общем случае?) не вектор $\textbf b$, а некоторый другой вектор $\textbf c.$

3.

То есть, в отличие от умножения векторов на вещественные числа, которое может быть определено единственным образом (поскольку в любом пространстве, кроме нулевого, каждый вектор лежит в единственной прямой), умножение векторов на комплексные числа -- в пространстве осности не менее четырех -- может быть определено по-разному, бесконечным числом способов, соответственно тому, что каждый вектор пространства лежит в бесконечном множестве плоскостей.

Другими словами, комплексное пространство, в отличие от вещественного, может задаваться по-разному, бесконечным числом способов.

4.

В дополнение попытаюсь доказать два предложения.

Предложение 1. Любые две плоскости умножения векторов на комплексные числа либо совпадают, либо пересекаются только в нулевой точке.

Доказательство. Пусть плоскости $\pi $ и $\rho \,\,\,\, \pi \ne \rho$ являются плоскостями умножения - каждая для лежащих в ней векторов, - и пусть они пересекаются в прямой $u$, в которой лежит вектор $\textbf u$.

Пусть плоскость $\pi$ будет плоскостью умножения вектора $\textbf u$, тогда $\rho$ не может быть плоскостью умножения вектора $\textbf u$, так как вектор может иметь только одну плоскость умножения.

Вместе с тем $\rho$ является плоскостью умножения вектора $\textbf u$, поскольку плоскость умножения является таковой для каждого из лежащих в ней векторов.

Налицо противоречие, поэтому делаем вывод, что $\pi$ и $\rho$ не могут пересекаться в прямой.

В плоскости они также не могут пересекаться, потому что $\pi \ne \rho$.

При этом любые две плоскости как подпространства пространства $V$ пересекаются в нулевой точке, отсюда заключаем, что $\pi$ и $\rho$ пересекаются только в нулевой точке.

Поскольку плоскости $\pi, \rho$ были выбраны произвольно, можно утверждать, что любые две плоскости умножения векторов на комплексные числа пересекаются только в нулевой точке, ч.т.д..

Предложение 2. Из всех плоскостей, пересекающихся в одной и той же прямой, только одна является плоскостью умножения векторов на комплексные числа.

Доказательство. Пусть плоскости $\pi $ и $\rho \,\,\,\, \pi \ne \rho$ пересекаются в прямой $u$, в которой лежит вектор $\textbf u$, и пусть плоскость $\pi$ будет плоскостью умножения вектора $\textbf u$.

Пусть также вектор $\textbf w$ лежит в плоскости $\rho$ и плоскость $\rho$ является плоскостью умножения вектора $\textbf w$.

Тогда плоскость $\rho$ является также плоскостью умножения вектора $\textbf u$ (поскольку она является плоскостью умножения для всех лежащих в ней векторов), а это невозможно, так как вектор может иметь только одну плоскость умножения.

5.

Относительно четырехмерного случая в одной из статей, ссылку на которую я, к сожалению не могу привести, так как она перестала работать, можно прочитать:

Цитата:

Естественно и в четырёхмерном пространстве называть координатными плоскостями множество точек, у которых какие-либо две из четырёх координат принимают любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида $(x, 0, z, 0)$ мы будем называть координатной плоскостью $xz$ четырёхмерного пространства. Сколько же всего таких плоскостей?

Выпишем их:

плоскость $xy$ - множество точек, вида $(x, y, 0, 0)$,

плоскость $xz$ - множество точек, вида $(x, 0, z, 0)$,

плоскость $xt$ - множество точек, вида $(x, 0, 0, t)$,

плоскость $yz$ - множество точек, вида $(0, y, z, 0)$,

плоскость $yt$ - множество точек, вида $(0, y, 0, t)$,

плоскость $zt$ - множество точек, вида $(0, 0, z, t)$.

Из этих шести плоскостей имеется три пары плоскостей, которые пересекаются только в нулевой точке. Это пары $(xy, zt)$, $(xz, yt)$ и $(xt, yz)$.

Остальные пары плоскостей пересекаются в прямых.

6.

$2n$-осное пространство является прямой суммой $n$ плоскостей, которые пересекаются в одной только нулевой точке.

7.

Кстати, если употреблять термин "$m$-осное пространство", можно избегать указания на то, является оно вещественным или комплексным.

[Это актуально, разумеется, для четных $m,$ так как при нечетных $m$ пространство может быть только вещественным

(если, конечно, не применять конструкцию, которую можно было бы назвать "вещественно-комплексным пространством", где, например, имеется $n$ базисных векторов, которые умножаются на комплексные координаты, и еще один базисный вектор, который умножается на вещественные координаты).]

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561842 писал(а):

Я думаю, можно сделать так: в $2n-$осном пространстве $V$ произвольно выбрать $n$ линейно независимых в вещественном смысле векторов $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots \textbf e_n$ и для каждого из них произвольно (произвольно -- при $n>1$) определить плоскость $\pi_i$ умножения на комплексные числа.

Не произвольно: нужно чтобы вектора из этих плоскостей были независимы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1561842 писал(а):

То есть, в отличие от умножения векторов на вещественные числа, которое может быть определено единственным образом (поскольку в любом пространстве, кроме нулевого, каждый вектор лежит в единственной прямой), умножение векторов на комплексные числа -- в пространстве осности не менее четырех -- может быть определено по-разному, бесконечным числом способов, соответственно тому, что каждый вектор пространства лежит в бесконечном множестве плоскостей.

Нет, "не то есть".
Вы фактически говорите, что в $2n$-мерном вещественном пространстве можно ввести умножение на комплексные числа, так, что умножение на чисто вещественное число будет совпадать с умножением на скаляр в исходном пространстве, а относительно нового умножение наше пространство будет $n$-мерным комплексным пространством (с той же аддитивной группой), причем это умножение можно ввести многими способами.
Ну да, но тут нет ничего особенного в вещественных и комплексных числах, всё то же самое будет с любым полем и подполем.
А "единственность" для вещественных чисел получается из-за того, что в определении вещественного пространства уже есть умножение на вещественный скаляр. Если вы возьмете группу , изоморфную $(\mathbb R, +)$, то превратить её в векторное пространство над $\mathbb R$ тоже можно разными способами.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561846 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1561842 писал(а):

Я думаю, можно сделать так: в $2n-$осном пространстве $V$ произвольно выбрать $n$ линейно независимых в вещественном смысле векторов $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots \textbf e_n$ и для каждого из них произвольно (произвольно -- при $n>1$) определить плоскость $\pi_i$ умножения на комплексные числа.

Не произвольно: нужно чтобы вектора из этих плоскостей были независимы.

Да, конечно, я там исправил (кстати, еще до того, как прочитал Ваше сообщение), дописал: "определить плоскость $\pi_i$ умножения на комплексные числа так, чтобы среди этих плоскостей не было совпадающих (о том, что среди них не может быть никаких двух, пересекающихся в прямой, см. ниже, в п. 4)."

mihaild в сообщении #1561846 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1561842 писал(а):

То есть, в отличие от умножения векторов на вещественные числа, которое может быть определено единственным образом (поскольку в любом пространстве, кроме нулевого, каждый вектор лежит в единственной прямой), умножение векторов на комплексные числа -- в пространстве осности не менее четырех -- может быть определено по-разному, бесконечным числом способов, соответственно тому, что каждый вектор пространства лежит в бесконечном множестве плоскостей.

Нет, "не то есть".
Вы фактически говорите, что в $2n$-мерном вещественном пространстве можно ввести умножение на комплексные числа, так, что умножение на чисто вещественное число будет совпадать с умножением на скаляр в исходном пространстве, а относительно нового умножение наше пространство будет $n$-мерным комплексным пространством (с той же аддитивной группой), причем это умножение можно ввести многими способами.
Ну да, но тут нет ничего особенного в вещественных и комплексных числах, всё то же самое будет с любым полем и подполем.
А "единственность" для вещественных чисел получается из-за того, что в определении вещественного пространства уже есть умножение на вещественный скаляр. Если вы возьмете группу , изоморфную $(\mathbb R, +)$, то превратить её в векторное пространство над $\mathbb R$ тоже можно разными способами.

Спасибо, понял. Но если не брать другую группу, изоморфную $(\mathbb R, +)$, а оставить ту, какая была, то есть если, вообще говоря, сохранить ту же аддитивную абелеву группу, на которой задается пространство, то вещественное пространство сможет определиться единственным образом, а комплексное пространство сможет определяться бесконечным числом способов (соответственно тому, что каждый вектор пространства лежит в бесконечном множестве плоскостей, и при этом каждый вектор пространства лежит в единственной прямой).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561848 писал(а):

Но если не брать другую группу, изоморфную $(\mathbb R, +)$, а оставить ту, какая была, то есть если, вообще говоря, сохранить ту же аддитивную абелеву группу, на которой задается пространство, то вещественное пространство сможет определиться единственным образом

Что в точности это значит?
Вот у нас есть некоторая абелева группа $(X, +_X)$, изоморфная $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$. Можно определить операцию умножения на вещественное число, $\mathbb R \times X \to X$, так что получившаяся структура будет векторным пространством над $\mathbb R$. Сделать это можно очень сильно разными способами, даже размерность может разная получиться.
Вы же начинаете с векторного пространства над $\mathbb R$, и замечаете, что сделать из него векторное пространство над $\mathbb C$ можно разными образами. В чем разница?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561886 писал(а):

Вот у нас есть некоторая абелева группа $(X, +_X)$, изоморфная $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$.

$(\mathbb R, +_{\mathbb R})$ это аддитивная группа поля вещественных чисел?

mihaild в сообщении #1561886 писал(а):

Можно определить операцию умножения на вещественное число, $\mathbb R \times X \to X$, так что получившаяся структура будет векторным пространством над $\mathbb R$.

Если для простоты взять не абелеву группу $(X, +_X)$, изоморфную $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$, а само $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$, то получившаяся структура будет одномерным вещественным пространством, векторами которого будут вещественные числа, правильно? То есть мы имеем вещественные числа и можем умножать их на вещественные числа. Как же мы можем сделать это разными образами? И вообще, как можно умножить вектор на вещественное число по-разному, если имеется в виду обычное умножение?

Может быть, Вы имеете в виду, что под умножением можно понимать, например, взятие множителя в качестве показателя степени или еще какое-то необычное умножение? Да, конечно, под умножением можно понимать не только обычное умножение, но я под умножением имел в виду обычное умножение.

И если применять обычное умножение, то умножение вектора на вещественное число $\alpha$ дает единственный результат, мы просто растягиваем его в $\alpha$ раз. Так ведь?

Но даже если применять какое-то необычное умножение, пусть будет выбрано какое-то одно умножение, и оно тогда будет единственным.

И пусть одно и то же умножение применяется и как умножение модуля вектора на модуль вещественного числа в вещественном пространстве, и как умножение модуля вектора на модуль комплексного числа в комплексном пространстве. При этом и способ умножения модуля вектора на модуль комплексного числа также будет единственным (поскольку он также уже выбран).

А теперь результирующим векторам надо придать направление, и при умножении на вещественное число выбор будет единственным, так как вектор лежит в единственной прямой, а при умножении на комплексное число возможность для выбора будет бесконечной, так как вектор лежит в бесконечном множестве плоскостей.

(И в одной и той же прямой, и в одной и той же плоскости направление вектора выбирается единственным образом.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561899 писал(а):

$(\mathbb R, +_{\mathbb R})$ это аддитивная группа поля вещественных чисел?

Да.

Vladimir Pliassov в сообщении #1561899 писал(а):

Если для простоты взять не абелеву группу $(X, +_X)$, изоморфную $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$, а само $(\mathbb R, +_{\mathbb R})$, то получившаяся структура будет одномерным вещественным пространством, векторами которого будут вещественные числа, правильно?

Нет, умножение всё еще можно задавать по-разному.

Vladimir Pliassov в сообщении #1561899 писал(а):

Может быть, Вы имеете в виду, что под умножением можно понимать, например, взятие множителя в качестве показателя степени или еще какое-то необычное умножение?

Возведение в степень не удовлетворяет нужным аксиомам.
Я имел в виду следующую конструкцию. Как известно, векторное пространство - это тройка (носитель, операция сложения, операция умножения на скаляр), удовлетворяющая нужным аксиомам.
В качестве носителя у нас будет $\mathbb R$, в качестве сложения - обычное сложение. А вот умножение может быть разным, и получившиеся векторные пространства могут быть неизоморфными.

Если же вы хотите использовать то, что у нас не абы какое множество в качестве носителя, а именно $\mathbb R$, то я могу аналогично сказать - у нас в исходном векторном пространстве было не абы какое множество в качестве носителя, а $\mathbb R^{2n}$, очевидно, что надо сгруппировать координаты так: первую с третьей, восемнадцатую с сорок второй и т.д. И таким образом умножение на комплексные числа тоже определено однозначно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561929 писал(а):

В качестве носителя у нас будет $\mathbb R$

То есть векторами будут вещественные числа.

mihaild в сообщении #1561929 писал(а):

в качестве сложения - обычное сложение. А вот умножение может быть разным, и получившиеся векторные пространства могут быть неизоморфными.

Не могли бы Вы привести примеры разных умножений, я не понимаю, как вещественные числа могут умножаться друг на друга по-разному.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561946 писал(а):

Не могли бы Вы привести примеры разных умножений

Пусть $f: \mathbb R \leftrightarrow \mathbb R^2$ - биекция, такая что $f(a +_{\mathbb R} b) = f(a) +_{\mathbb R^2} f(b)$ (т.е. изоморфизм между прямой и плоскостью как абелевыми группами по сложению).
Пусть $\circ$ - обычное умножение двумерного вектора на скаляр. Определим новое умножение вещественных чисел (точнее умножение вещественного числа на скаляр) $\star$ так: $\alpha \star x = f^{-1}(\alpha \circ f(x))$. Тогда $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, \star)$ - двумерное векторное пространство над $\mathbb R$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561949 писал(а):

Пусть $f: \mathbb R \leftrightarrow \mathbb R^2$ - биекция, такая что $f(a +_{\mathbb R} b) = f(a) +_{\mathbb R^2} f(b)$ (т.е. изоморфизм между прямой и плоскостью как абелевыми группами по сложению).

Я, наверное, неправильно понимаю, но вот здесь http://mathhelpplanet.com/static.php?p= ... rostranstv написано:

Цитата:

Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

Разве могут прямая и плоскость быть изоморфны? Или дело в том, что они рассматриваются как абелевы группы по сложению?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561966 писал(а):

Или дело в том, что они рассматриваются как абелевы группы по сложению?

Именно в этом. Группы по сложению одинаковые, умножение на скаляр разные.
Вы знаете, что такое базис Гамеля, и что он (если принять аксиому выбора) есть у любого пространства? Если да - то думаю вы сможете доказать существование вышеупомянутого изоморфизма. Это ИМХО довольно занятный факт сам по себе.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561971 писал(а):

Вы знаете, что такое базис Гамеля..?

Не знал, но пробую узнать. А пока что не могли бы Вы проиллюстрировать Ваш пример:

Vladimir Pliassov в сообщении #1561966 писал(а):

Пусть $f: \mathbb R \leftrightarrow \mathbb R^2$ - биекция, такая что $f(a +_{\mathbb R} b) = f(a) +_{\mathbb R^2} f(b)$ (т.е. изоморфизм между прямой и плоскостью как абелевыми группами по сложению).
Пусть $\circ$ - обычное умножение двумерного вектора на скаляр. Определим новое умножение вещественных чисел (точнее умножение вещественного числа на скаляр) $\star$ так: $\alpha \star x = f^{-1}(\alpha \circ f(x))$. Тогда $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, \star)$ - двумерное векторное пространство над $\mathbb R$.

на конкретном материале, чтобы я мог лучше понять? Можете Вы умножить $5$ на $3$ так, чтобы получилось не $15$, а что-то другое?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561977 писал(а):

Можете Вы умножить $5$ на $3$ так, чтобы получилось не $15$, а что-то другое?

Сколь-нибудь в явном виде определить $\star$ как раз не получится (потому что без аксиомы выбора изоморфизм выше может и не существовать).
Но если например договориться, что $f(1) = (1, 0)$, $f(\sqrt{2}) = (0, 1)$, $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3}, \sqrt{3})$, то будет $f(1 + \sqrt{2}) = (1, 1)$, $\sqrt{3} \circ (1, 1) = (\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f^{-1}((\sqrt{3}, \sqrt{3})) = \sqrt{3}$, откуда $\sqrt{3} \star (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{3}$.
(так определенную $f$ можно продолжить на всё $\mathbb R$, но нельзя этого сделать явным образом)

Учтите, что аргументы у $\star$ неравноправные (как обычно и бывает у умножения вектора на скаляр): хотя есть линейность по каждому аргументу, но никакой коммутативностью и не пахнет.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1561979 писал(а):

Но если например договориться, что $f(1) = (1, 0)$, $f(\sqrt{2}) = (0, 1)$, $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3}, \sqrt{3})$, то будет $f(1 + \sqrt{2}) = (1, 1)$, $\sqrt{3} \circ (1, 1) = (\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f^{-1}((\sqrt{3}, \sqrt{3})) = \sqrt{3}$, откуда $\sqrt{3} \star (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{3}$.

Спасибо, с этим, кажется, разобрался. В общем, это умножение, как и всякое другое, есть один из способов отображения пары элементов множества в третий элемент. Я как-то выпустил из виду, что умножение вещественных чисел, как и умножение элементов любой группы, представляет собой это отображение, а то бы я не спорил с тем, что его можно задать сколькими угодно способами (поскольку данная группа -- вещественных чисел -- состоит из бесконечного числа элементов). Правда, отображение это должно делаться так, чтобы получилась группа, а для поля она должна быть еще и коммутативной. Я не исключаю, что это возможно. Но, как я уже писал,

Vladimir Pliassov в сообщении #1561899 писал(а):

пусть будет выбрано какое-то одно умножение... И пусть одно и то же умножение применяется и как умножение модуля вектора на модуль вещественного числа в вещественном пространстве, и как умножение модуля вектора на модуль комплексного числа в комплексном пространстве. ...
А теперь результирующим векторам надо придать направление, и при умножении на вещественное число выбор будет единственным, так как вектор лежит в единственной прямой, а при умножении на комплексное число возможность для выбора будет бесконечной, так как вектор лежит в бесконечном множестве плоскостей.

(И в одной и той же прямой, и в одной и той же плоскости направление вектора выбирается единственным образом.)

Я, конечно, неправильно сказал, что умножение вектора на вещественное число определяется единственным образом (и спасибо, что Вы обратили на это мое внимание). Но при уже выбранном умножении вектора на вещественное число вещественное пространство может определяться единственным образом, а комплексное -- бесконечным числом образов.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1561995 писал(а):

Правда, отображение это должно делаться так, чтобы получилась группа, а для поля она должна быть еще и коммутативной. Я не исключаю, что это возможно

Но нам же здесь не нужно поле, нам нужно умножать вектора на скаляры.

Vladimir Pliassov в сообщении #1561995 писал(а):

Но при уже выбранном умножении вектора на вещественное число вещественное пространство может определяться единственным образом, а комплексное -- бесконечным числом образов

Ну а при выбранном сложении, умножение вектора на рациональное число определяется однозначно, а на вещественное - нет. А при выбранном умножении на комплексное число - однозначно определяется и комплексное пространство. Что в этом удивительного, и в чем особенность комплексных чисел?
Если вы просто хотите посмотреть, как можно из вещественного векторного пространства сделать комплексное - то ок, хотя для конечномерных пространств тут всё понятно (выбираем произвольный базис, и говорим что $e_{2k + 2} = i \cdot e_{2k + 1}$).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562012 писал(а):

Но нам же здесь не нужно поле, нам нужно умножать вектора на скаляры.

Я имею в виду, что если пространство задается над полем -- например, над вещественным или комплексным.

К тому же мне кажется, что должно быть возможно умножать векторы не только на отдельно взятые скаляры, но и на их суммы (а также и на произведения), иначе аксиомы линейного пространства не будут употреблены в полной мере. То есть пространство должно быть по крайней мере над кольцом. Хотя, действительно, здесь у нас шла речь о возможности умножения на отдельные скаляры.

mihaild в сообщении #1562012 писал(а):

Ну а при выбранном сложении,

Может быть Вы хотели сказать "при выбранном умножении"?

mihaild в сообщении #1562012 писал(а):

умножение вектора на рациональное число определяется однозначно, а на вещественное - нет.

Не понимаю, почему: чем здесь отличаются рациональные числа от иррациональных?

mihaild в сообщении #1562012 писал(а):

А при выбранном умножении на комплексное число - однозначно определяется и комплексное пространство. Что в этом удивительного, и в чем особенность комплексных чисел?

Разумеется, когда умножение на комплексное число определено, то определено и комплексное пространство. Но само умножение на комплексное число определяется неоднозначно, поскольку после того, как модуль вектора $\textbf a$ уже (однозначно) умножен на модуль комплексного числа $\alpha$, полученную "заготовку" результирующего вектора $\alpha \textbf a$ (то есть вытянутый (сжатый) вектор $\textbf a$) нужно еще и повернуть, а для того, чтобы сделать это (в пространстве с числом осей больше двух), есть бесконечное число возможностей, так как вектор лежит в бесконечном множестве плоскостей и в каждой из них можно совершить этот поворот.