СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил

[Mitkin]

Вопрос возник. Как будет двигаться пружинка с грузиками на концах в отсутствии внешних тел (пружинка периодически сжимается/разжимается)?

Классическая механика утверждает, что центр масс пружинки движется равномерно и прямолинейно. Но, если мы учитываем СТО, то мы должны учесть и то, что грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.

Если меняется масса системы, то меняется и импульс? Т.е. равномерного движения центра масс не будет?

[Osmiy]

Надо учитывать общую энергию. А она не меняется. Кинетическая энергия грузиков и потенциальная энергия пружины в сумме дают константу.

[Mikhail_K]

Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):

грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.

То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

[svv]

Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):

Т.е. равномерного движения центра масс не будет?

Будет. Для изолированной системы радиус-вектор, определённый в некоторой ИСО формулой
$\mathbf R(t)=\dfrac {\int \mathbf r\;w(\mathbf r,t)\; dV}{\int w(\mathbf r,t)\;dV},$
где $w$ — плотность энергии, меняется со временем по закону
$\mathbf R(t)=\mathbf R(0)+\mathbf v t$,
где скорость $\mathbf v$ постоянна. То есть соответствующая точка движется равномерно и прямолинейно.

Тут много оговорок.

Величина $w(\mathbf r,t)$ является компонентой $T^{00}$ полного тензора энергии-импульса, учитывающего не только энергию частиц (частью которой является их кинетическая энергия), но и энергию поля или полей (аналог классической потенциальной энергии). В отличие от классики, $\mathbf R$ зависит от того, как энергия поля распределена в пространстве.

Интегрирование производится по такой области, границу которой не пересекают частицы и на которой равны нулю или пренебрежимо малы поля. Т.е. по такой области, чтобы то, что в ней находится, можно было считать изолированной системой.

При переходе в другую ИСО вектор $\mathbf R$ не преобразуется как "хороший" вектор в соответствии с преобразованиями Лоренца. Если жук летит так, что его радиус-вектор в системе $S$ всё время совпадает с вычисленным в этой же системе $\mathbf R(t)$, в системе $S'$ совпадения уже не будет.

Интеграл в знаменателе — это полная энергия системы, которая сохраняется.

[Mitkin]

Mikhail_K в сообщении #1561810 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):

грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.

То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

на сколько я помню, эти определения для решения этой задачи ничего не дают. Но я посмотрю повнимательней ещё раз.

-- 05.08.2022, 10:21 --

svv в сообщении #1561812 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):

Т.е. равномерного движения центра масс не будет?

Будет. Для изолированной системы радиус-вектор, определённый в некоторой ИСО формулой
$\mathbf R(t)=\dfrac {\int \mathbf r\;w(\mathbf r,t)\; dV}{\int w(\mathbf r,t)\;dV},$
где $w$ — плотность энергии, меняется со временем по закону
$\mathbf R(t)=\mathbf R(0)+\mathbf v t$,
где скорость $\mathbf v$ постоянна. То есть соответствующая точка движется равномерно и прямолинейно.

Тут много оговорок.

Величина $w(\mathbf r,t)$ является компонентой $T^{00}$ полного тензора энергии-импульса, учитывающего не только энергию частиц (частью которой является их кинетическая энергия), но и энергию поля или полей (аналог классической потенциальной энергии). В отличие от классики, $\mathbf R$ зависит от того, как энергия поля распределена в пространстве.

Интегрирование производится по такой области, границу которой не пересекают частицы и на которой равны нулю или пренебрежимо малы поля. Т.е. по такой области, чтобы то, что в ней находится, можно было считать изолированной системой.

При переходе в другую ИСО вектор $\mathbf R$ не преобразуется как "хороший" вектор в соответствии с преобразованиями Лоренца. Если жук летит так, что его радиус-вектор в системе $S$ всё время совпадает с вычисленным в этой же системе $\mathbf R(t)$, в системе $S'$ совпадения уже не будет.

Интеграл в знаменателе — это полная энергия системы, которая сохраняется.

Можно конкретно? Вот пусть у нас ц.м. изначально имеет горизонтальную (см. рис.) скорость 500м/с. Грузики движутся перпендикулярно этому движению по закону $v=500\cos(t)$ м/с. Пружина невесомая.
Как будет выглядеть формула?
Как будет выглядеть формула для ц.м. и для грузика по отдельности?

-- 05.08.2022, 10:42 --

Mikhail_K в сообщении #1561810 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):

грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.

То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

стр. 518-519 задача про атом водорода. Там скорость электрона постоянна, потому постоянна и кинетическая энергия. У нас кинетическая энергия грузиков меняется. Она будет и меняться при переходе от одной инерциальной системы к другой, а потенциальная энергия меняться при таком переходе не должна ведь?

[schoolboy]

Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):

Пружина невесомая.

Если вы начали считать поправки СТО, то не может пружина быть невесомой, например, у нее будет электромагнитная масса. Кинетическая энергия грузиков переходит в энергию пружины, при этом пружина неизбежно становится тяжелее.

[Mitkin]

schoolboy в сообщении #1561819 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):

Пружина невесомая.

Если вы начали считать поправки СТО, то не может пружина быть невесомой, например, у нее будет электромагнитная масса. Кинетическая энергия грузиков переходит в энергию пружины, при этом пружина неизбежно становится тяжелее.

Не соглашусь. Мы рассматриваем модель. В моделях никогда все факторы не учитываются, будь то механика Ньютона, СТО или любая иная теория.

-- 05.08.2022, 11:22 --

Osmiy в сообщении #1561808 писал(а):

Надо учитывать общую энергию. А она не меняется. Кинетическая энергия грузиков и потенциальная энергия пружины в сумме дают константу.

Хорошо. Кинетическая энергия зависит от скорости, потенциальная от расстояния, полная энергия не меняется.
Переходим в иную инерциальную систему отсчёта. У нас поменялись скорости, т.е. кинетическая энергия. Расстояние не изменилось. Значит потенциальная энергия не поменялась?

[Mikhail_K]

Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):

стр. 518-519 задача про атом водорода. Там скорость электрона постоянна, потому постоянна и кинетическая энергия. У нас кинетическая энергия грузиков меняется. Она будет и меняться при переходе от одной инерциальной системы к другой, а потенциальная энергия меняться при таком переходе не должна ведь?

Вообще, в СТО нет никаких кинетической и потенциальной энергии. На тех страницах, куда Вы сослались, сказано, что это лишь приблизительное представление.

Есть полная энергия системы, равная $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Она сохраняется. Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент), $v$ - скорость. Они тоже неизменны.
Если $v$ много меньше, чем $c$, полная энергия приблизительно равна сумме $mc^2+\frac{mv^2}{2}$. Первое слагаемое - энергия покоя, включающая потенциальную и внутреннюю энергию, второе - кинетическая энергия. Подчеркну, что это разделение в СТО справедливо лишь приблизительно.

Если под потенциальной энергией понимать просто разность между полной энергией и кинетической, то при скоростях, близких к скорости света, эта величина будет различной в разных системах отсчёта.

Mitkin в сообщении #1561820 писал(а):

Не соглашусь. Мы рассматриваем модель. В моделях никогда все факторы не учитываются, будь то механика Ньютона, СТО или любая иная теория.

Не любая модель возможна в рамках той или иной теории. Например, модель "абсолютно твёрдое тело" возможна в классической механике, но невозможна в СТО. Иногда некоторые факторы мы обязаны рассматривать, иначе получим противоречие с теорией.

[Mitkin]

Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):

Например, модель "абсолютно твёрдое тело" возможна в классической механике, но невозможна в СТО.

Почему же? Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?

Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):

Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент).

Чему тогда равна масса системы?

Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):

Есть полная энергия системы, равная $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Она сохраняется. Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент), $v$ - скорость. Они тоже неизменны.

Полная энергия системы разве не равна сумме полных энергий частей, её составляющих?

[amon]

Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):

Чему тогда равна масса системы?

Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в т 2 стр. 47 Курса теоретической физики писал(а):

Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, $mc^2$ не равно сумме $\sum m_ac^2$ ($m_a$ — массы частиц), а потому и $m$ не равно $\sum m_a.$ Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.

Там же, стр. 69 писал(а):

В классической механике можно ввести понятие абсолютно твердого тела, т. е. тела, которое ни при каких условиях не может быть деформировано. В теории относительности под абсолютно твердыми телами следовало бы соответственно подразумевать тела, все размеры которых остаются неизменными в той системе отсчета, где они покоятся. Легко, однако, видеть, что теория относительности делает вообще невозможным существование абсолютно твердых тел.

Согласно современным представлениям, электрон - точечная частица (что это означает объяснять долго и не в тему).

[Someone]

Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):

Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?

В абсолютно твёрдом теле воздействие на любую точку тела мгновенно передаётся всем точкам тела. В СТО это воздействие передаётся со скоростью, не превышающей скорость света в вакууме. Поэтому абсолютно твёрдых тел в СТО нет.

[Mitkin]

В Окуне, стр. 515
$p=\frac{vE}{c^2}$ - для свободной частицы (т.е. в нашем случае для системы)
Полная энергия системы $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Стр. 515. Сказано, что энергия и импульс аддитивны.
$E^2-p^2c^2=m^2c^2$ (стр. 215) - вот отсюда считается масса системы
Предположим, что грузики у нас свободны (нет пружинки).
Тогда сумарный импульс системы равен $p_c=\frac{2vE_{gr}}{c^2}$, здесь $v$- это векторная сумма скоростей грузиков, т.е. скорость ц.м.
Энергия системы равна сумме энергий $E_c=2E_{gr}$
Положим в основу формулу для полной энергии, чтобы сравнить результаты:
$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Должно быть
$E^2-p^2c^2=4E_{gr}^2-p_c^2c^2$
или
$E^2-\frac{v^2E^2}{c^2}=4E_{gr}^2-\frac{4v^2E_{gr}^2}{c^2}=4m_{gr}c^2$ (1)
Это верно, мы так считали для полной системы. Тут не должно быть противоречия.
Посчитаем по отдельности выражения для масс грузиков.
$E_{gr}^2-\frac{v_{gr}^2E_{gr}^2}{c^2}=m_{gr}c^2$
откуда.
$4E_{gr}^2-\frac{4v_{gr}^2E_{gr}^2}{c^2}=4m_{gr}c^2$ (2)
Выражение (2) отличается от выражения (1).

-- 05.08.2022, 17:26 --

Someone в сообщении #1561836 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):

Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?

В абсолютно твёрдом теле воздействие на любую точку тела мгновенно передаётся всем точкам тела. В СТО это воздействие передаётся со скоростью, не превышающей скорость света в вакууме. Поэтому абсолютно твёрдых тел в СТО нет.

Речь о моделях. Мы не учитываем скорость распространения взаимодействия.
Мы можем в рамках СТО это учитывать или не учитывать. Всё зависит от того, что именно мы рассматриваем.
Есть понятие "материальная точка". В классической механике нет материальных точек, но мы их применяем при моделировании.

[Aritaborian]

Mitkin в сообщении #1561844 писал(а):

В классической механике нет материальных точек

[Mitkin]

В выражениях (1) и (2) справа стоят квадраты масс. Но, факт тот, что выражения получились разными. Что неправильно сделал?
Я так понимаю, что под массой понимается масса покоя, т.е. она должна просто складываться?

-- 05.08.2022, 18:03 --

Aritaborian в сообщении #1561847 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561844 писал(а):

В классической механике нет материальных точек

Если в СТО нет абсолютно твёрдых тел, то в классической механике нет тел с нулевым объёмом и значимой массой.

[sergey zhukov]

Mitkin
К исходному вопросу. По крайней мере очевидно, что существует ИСО, в которой средняя точка колеблющейся пружины с грузами неподвижна, и что, поэтому, в любой другой ИСО эта точка пружины движется равномерно и прямолинейно. И так же ясно, что в ИСО, в которой эта точка пружины покоится, она и является центром масс (из соображений симметрии).

Если мы в ИСО, в которой пружина с грузами движется перпендикулярно себе, то центр тяжести этой колебательной системы будет по прежнему совпадать с центром пружины.