2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 02:29 


20/07/22
102
Вопрос возник. Как будет двигаться пружинка с грузиками на концах в отсутствии внешних тел (пружинка периодически сжимается/разжимается)?

Классическая механика утверждает, что центр масс пружинки движется равномерно и прямолинейно. Но, если мы учитываем СТО, то мы должны учесть и то, что грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.

Если меняется масса системы, то меняется и импульс? Т.е. равномерного движения центра масс не будет?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 02:58 


01/03/13
2502
Надо учитывать общую энергию. А она не меняется. Кинетическая энергия грузиков и потенциальная энергия пружины в сумме дают константу.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):
грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.
То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 05:13 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):
Т.е. равномерного движения центра масс не будет?
Будет. Для изолированной системы радиус-вектор, определённый в некоторой ИСО формулой
$\mathbf R(t)=\dfrac {\int \mathbf r\;w(\mathbf r,t)\; dV}{\int w(\mathbf r,t)\;dV},$
где $w$ — плотность энергии, меняется со временем по закону
$\mathbf R(t)=\mathbf R(0)+\mathbf v t$,
где скорость $\mathbf v$ постоянна. То есть соответствующая точка движется равномерно и прямолинейно.

Тут много оговорок.

Величина $w(\mathbf r,t)$ является компонентой $T^{00}$ полного тензора энергии-импульса, учитывающего не только энергию частиц (частью которой является их кинетическая энергия), но и энергию поля или полей (аналог классической потенциальной энергии). В отличие от классики, $\mathbf R$ зависит от того, как энергия поля распределена в пространстве.

Интегрирование производится по такой области, границу которой не пересекают частицы и на которой равны нулю или пренебрежимо малы поля. Т.е. по такой области, чтобы то, что в ней находится, можно было считать изолированной системой.

При переходе в другую ИСО вектор $\mathbf R$ не преобразуется как "хороший" вектор в соответствии с преобразованиями Лоренца. Если жук летит так, что его радиус-вектор в системе $S$ всё время совпадает с вычисленным в этой же системе $\mathbf R(t)$, в системе $S'$ совпадения уже не будет.

Интеграл в знаменателе — это полная энергия системы, которая сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 10:15 


20/07/22
102
Mikhail_K в сообщении #1561810 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):
грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.
То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

на сколько я помню, эти определения для решения этой задачи ничего не дают. Но я посмотрю повнимательней ещё раз.

-- 05.08.2022, 10:21 --

svv в сообщении #1561812 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):
Т.е. равномерного движения центра масс не будет?
Будет. Для изолированной системы радиус-вектор, определённый в некоторой ИСО формулой
$\mathbf R(t)=\dfrac {\int \mathbf r\;w(\mathbf r,t)\; dV}{\int w(\mathbf r,t)\;dV},$
где $w$ — плотность энергии, меняется со временем по закону
$\mathbf R(t)=\mathbf R(0)+\mathbf v t$,
где скорость $\mathbf v$ постоянна. То есть соответствующая точка движется равномерно и прямолинейно.

Тут много оговорок.

Величина $w(\mathbf r,t)$ является компонентой $T^{00}$ полного тензора энергии-импульса, учитывающего не только энергию частиц (частью которой является их кинетическая энергия), но и энергию поля или полей (аналог классической потенциальной энергии). В отличие от классики, $\mathbf R$ зависит от того, как энергия поля распределена в пространстве.

Интегрирование производится по такой области, границу которой не пересекают частицы и на которой равны нулю или пренебрежимо малы поля. Т.е. по такой области, чтобы то, что в ней находится, можно было считать изолированной системой.

При переходе в другую ИСО вектор $\mathbf R$ не преобразуется как "хороший" вектор в соответствии с преобразованиями Лоренца. Если жук летит так, что его радиус-вектор в системе $S$ всё время совпадает с вычисленным в этой же системе $\mathbf R(t)$, в системе $S'$ совпадения уже не будет.

Интеграл в знаменателе — это полная энергия системы, которая сохраняется.

Можно конкретно? Вот пусть у нас ц.м. изначально имеет горизонтальную (см. рис.) скорость 500м/с. Грузики движутся перпендикулярно этому движению по закону $v=500\cos(t)$ м/с. Пружина невесомая.
Как будет выглядеть формула?
Как будет выглядеть формула для ц.м. и для грузика по отдельности?

-- 05.08.2022, 10:42 --

Mikhail_K в сообщении #1561810 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561806 писал(а):
грузики движутся с переменной скоростью, их масса меняется.
То, что масса в СТО изменяется при изменении скорости - устаревшая точка зрения. См. по этому поводу
https://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Но при любой точке зрения, в Вашем примере масса системы изменяться не будет. Масса системы не обязательно равна сумме масс компонентов этой системы.

стр. 518-519 задача про атом водорода. Там скорость электрона постоянна, потому постоянна и кинетическая энергия. У нас кинетическая энергия грузиков меняется. Она будет и меняться при переходе от одной инерциальной системы к другой, а потенциальная энергия меняться при таком переходе не должна ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 11:01 


03/04/12
300
Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):
Пружина невесомая.

Если вы начали считать поправки СТО, то не может пружина быть невесомой, например, у нее будет электромагнитная масса. Кинетическая энергия грузиков переходит в энергию пружины, при этом пружина неизбежно становится тяжелее.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 11:16 


20/07/22
102
schoolboy в сообщении #1561819 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):
Пружина невесомая.

Если вы начали считать поправки СТО, то не может пружина быть невесомой, например, у нее будет электромагнитная масса. Кинетическая энергия грузиков переходит в энергию пружины, при этом пружина неизбежно становится тяжелее.

Не соглашусь. Мы рассматриваем модель. В моделях никогда все факторы не учитываются, будь то механика Ньютона, СТО или любая иная теория.

-- 05.08.2022, 11:22 --

Osmiy в сообщении #1561808 писал(а):
Надо учитывать общую энергию. А она не меняется. Кинетическая энергия грузиков и потенциальная энергия пружины в сумме дают константу.

Хорошо. Кинетическая энергия зависит от скорости, потенциальная от расстояния, полная энергия не меняется.
Переходим в иную инерциальную систему отсчёта. У нас поменялись скорости, т.е. кинетическая энергия. Расстояние не изменилось. Значит потенциальная энергия не поменялась?

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Mitkin в сообщении #1561816 писал(а):
стр. 518-519 задача про атом водорода. Там скорость электрона постоянна, потому постоянна и кинетическая энергия. У нас кинетическая энергия грузиков меняется. Она будет и меняться при переходе от одной инерциальной системы к другой, а потенциальная энергия меняться при таком переходе не должна ведь?
Вообще, в СТО нет никаких кинетической и потенциальной энергии. На тех страницах, куда Вы сослались, сказано, что это лишь приблизительное представление.

Есть полная энергия системы, равная $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Она сохраняется. Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент), $v$ - скорость. Они тоже неизменны.
Если $v$ много меньше, чем $c$, полная энергия приблизительно равна сумме $mc^2+\frac{mv^2}{2}$. Первое слагаемое - энергия покоя, включающая потенциальную и внутреннюю энергию, второе - кинетическая энергия. Подчеркну, что это разделение в СТО справедливо лишь приблизительно.

Если под потенциальной энергией понимать просто разность между полной энергией и кинетической, то при скоростях, близких к скорости света, эта величина будет различной в разных системах отсчёта.
Mitkin в сообщении #1561820 писал(а):
Не соглашусь. Мы рассматриваем модель. В моделях никогда все факторы не учитываются, будь то механика Ньютона, СТО или любая иная теория.
Не любая модель возможна в рамках той или иной теории. Например, модель "абсолютно твёрдое тело" возможна в классической механике, но невозможна в СТО. Иногда некоторые факторы мы обязаны рассматривать, иначе получим противоречие с теорией.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 15:02 


20/07/22
102
Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):
Например, модель "абсолютно твёрдое тело" возможна в классической механике, но невозможна в СТО.

Почему же? Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?
Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):
Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент).

Чему тогда равна масса системы?

Mikhail_K в сообщении #1561822 писал(а):
Есть полная энергия системы, равная $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Она сохраняется. Здесь $m$ - масса системы (не обязательно равная сумме масс компонент), $v$ - скорость. Они тоже неизменны.

Полная энергия системы разве не равна сумме полных энергий частей, её составляющих?

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):
Чему тогда равна масса системы?
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в т 2 стр. 47 Курса теоретической физики писал(а):
Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, $mc^2$ не равно сумме $\sum m_ac^2$ ($m_a$ — массы частиц), а потому и $m$ не равно $\sum m_a.$ Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.
Там же, стр. 69 писал(а):
В классической механике можно ввести понятие абсолютно твердого тела, т. е. тела, которое ни при каких условиях не может быть деформировано. В теории относительности под абсолютно твердыми телами следовало бы соответственно подразумевать тела, все размеры которых остаются неизменными в той системе отсчета, где они покоятся. Легко, однако, видеть, что теория относительности делает вообще невозможным существование абсолютно твердых тел.
Согласно современным представлениям, электрон - точечная частица (что это означает объяснять долго и не в тему).

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):
Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?
В абсолютно твёрдом теле воздействие на любую точку тела мгновенно передаётся всем точкам тела. В СТО это воздействие передаётся со скоростью, не превышающей скорость света в вакууме. Поэтому абсолютно твёрдых тел в СТО нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 16:58 


20/07/22
102
В Окуне, стр. 515
$p=\frac{vE}{c^2}$ - для свободной частицы (т.е. в нашем случае для системы)
Полная энергия системы $\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Стр. 515. Сказано, что энергия и импульс аддитивны.
$E^2-p^2c^2=m^2c^2$ (стр. 215) - вот отсюда считается масса системы
Предположим, что грузики у нас свободны (нет пружинки).
Тогда сумарный импульс системы равен $p_c=\frac{2vE_{gr}}{c^2}$, здесь $v$- это векторная сумма скоростей грузиков, т.е. скорость ц.м.
Энергия системы равна сумме энергий $E_c=2E_{gr}$
Положим в основу формулу для полной энергии, чтобы сравнить результаты:
$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Должно быть
$E^2-p^2c^2=4E_{gr}^2-p_c^2c^2$
или
$E^2-\frac{v^2E^2}{c^2}=4E_{gr}^2-\frac{4v^2E_{gr}^2}{c^2}=4m_{gr}c^2$ (1)
Это верно, мы так считали для полной системы. Тут не должно быть противоречия.
Посчитаем по отдельности выражения для масс грузиков.
$E_{gr}^2-\frac{v_{gr}^2E_{gr}^2}{c^2}=m_{gr}c^2$
откуда.
$4E_{gr}^2-\frac{4v_{gr}^2E_{gr}^2}{c^2}=4m_{gr}c^2$ (2)
Выражение (2) отличается от выражения (1).

-- 05.08.2022, 17:26 --

Someone в сообщении #1561836 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561832 писал(а):
Где в СТО сказано, что электрон не абсолютно твёрдое тело, применительно к задаче об атоме?
В абсолютно твёрдом теле воздействие на любую точку тела мгновенно передаётся всем точкам тела. В СТО это воздействие передаётся со скоростью, не превышающей скорость света в вакууме. Поэтому абсолютно твёрдых тел в СТО нет.

Речь о моделях. Мы не учитываем скорость распространения взаимодействия.
Мы можем в рамках СТО это учитывать или не учитывать. Всё зависит от того, что именно мы рассматриваем.
Есть понятие "материальная точка". В классической механике нет материальных точек, но мы их применяем при моделировании.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 17:54 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Mitkin в сообщении #1561844 писал(а):
В классической механике нет материальных точек
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 18:00 


20/07/22
102
В выражениях (1) и (2) справа стоят квадраты масс. Но, факт тот, что выражения получились разными. Что неправильно сделал?
Я так понимаю, что под массой понимается масса покоя, т.е. она должна просто складываться?

-- 05.08.2022, 18:03 --

Aritaborian в сообщении #1561847 писал(а):
Mitkin в сообщении #1561844 писал(а):
В классической механике нет материальных точек
:shock:

Если в СТО нет абсолютно твёрдых тел, то в классической механике нет тел с нулевым объёмом и значимой массой.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО, прямолинейное движение тела в отсутствии внешних сил
Сообщение05.08.2022, 18:52 


17/10/16
3893
Mitkin
К исходному вопросу. По крайней мере очевидно, что существует ИСО, в которой средняя точка колеблющейся пружины с грузами неподвижна, и что, поэтому, в любой другой ИСО эта точка пружины движется равномерно и прямолинейно. И так же ясно, что в ИСО, в которой эта точка пружины покоится, она и является центром масс (из соображений симметрии).

Если мы в ИСО, в которой пружина с грузами движется перпендикулярно себе, то центр тяжести этой колебательной системы будет по прежнему совпадать с центром пружины.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group