Определенность функций типа sin x/x в нуле.

[Doctor Boom]

EUgeneUS в сообщении #1561419 писал(а):

какое отношение этот вопрос имеет:

Да никакого, у меня и ТС совершенно разные вопросы

[kefi]

EUgeneUS не, на самом деле забавно то, что я бы задал те же вопросы, что и Doctor Boom.
Или вот еще : скажем в процессе решения какой-то задачи нам потребовалось исходную функцию $1/1$ домножить на $x/x$ - должны ли мы будем считать , что в результате появится в нуле выколотая точка ?

[Dan B-Yallay]

kefi в сообщении #1561421 писал(а):

скажем в процессе решения какой-то задачи нам потребовалось исходную функцию $1/1$ домножить на $x/x$ - должны ли мы будем считать , что в результате появится в нуле выколотая точка ?

Разумеется.

[Otta]

Doctor Boom в сообщении #1561420 писал(а):

Да никакого, у меня и ТС совершенно разные вопросы

Разные функции - разные свойства. У одной уравнение $f(x)=1$ имеет одно множество решений, у другой - другое.
Ответ: смотря что от функций нужно.

[kefi]

Dan B-Yallay в сообщении #1561422 писал(а):

kefi в сообщении #1561421 писал(а):

скажем в процессе решения какой-то задачи нам потребовалось исходную функцию $1/1$ домножить на $x/x$ - должны ли мы будем считать , что в результате появится в нуле выколотая точка ?

Разумеется.

А как быть с тем, что , если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится ?

[Otta]

На области определения не изменится.
На ноль числитель и знаменатель вроде еще не научились одновременно умножать.
Ну или я не умею.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1561416 писал(а):

искусственное отождествление разных функций

Ну вообще говоря, если брать комплан и аналитическое продолжение, то отождествление не искусственное (потому что у функций появляется естественная область определения, и их вообще не очень важно где задавать, потом продолжить можно). Но это конечно не уровень ЕГЭ.

[Dan B-Yallay]

kefi в сообщении #1561430 писал(а):

А как быть с тем, что , если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится ?

С этим надо опять вспоминать школьное на ноль делить нельзя, поэтому "одно и то же число" не может быть нулём.
Если не верите, то полюбуйтесь:

$$2 \ = \ \dfrac 2 1 \ = \ \dfrac {2 \cdot 0 } { 1 \cdot 0} \ = \ \dfrac 0 0 $$

$$3 \ = \ \dfrac 3 1 \ = \ \dfrac {3 \cdot 0}{1 \cdot 0} \ = \ \dfrac 0 0 $$

$$\ldots$$

Продолжать?

[kefi]

Dan B-Yallay в сообщении #1561437 писал(а):

kefi в сообщении #1561430 писал(а):

А как быть с тем, что , если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится ?

С этим надо опять вспоминать школьное на ноль делить нельзя, поэтому "одно и то же число" не может быть нулём.

Вообще-то, в контексте темы речь и идет как раз о том, что делить на ноль не предполагается ( Но при этом умножать на х , в т.ч. и на ноль ). Т.е. речь об условностях , принимаемых при определении функций. Приняли же когда-то , что у уравнения $x^2=-1$ корни существуют ...

[Otta]

kefi в сообщении #1561438 писал(а):

( Но при этом умножать на х , в т.ч. и на ноль )

Стало быть и делить на $x$, в том числе и на ноль.

[Dan B-Yallay]

kefi в сообщении #1561438 писал(а):

Вообще-то, в контексте темы речь и идет как раз о том, что делить на ноль не предполагается ( Но при этом умножать на х , в т.ч. и на ноль )

Вы предлагаете :

kefi в сообщении #1561430 писал(а):

если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число

Умножение знаменателя дроби на число (в том числе и на ноль), это по-Вашему не деление?

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1561436 писал(а):

Ну вообще говоря, если брать комплан и аналитическое продолжение, то отождествление не искусственное (потому что у функций появляется естественная область определения, и их вообще не очень важно где задавать, потом продолжить можно).

Вообще говоря, функции можно задавать разными способами.
Например, линейная функция однозначно задаётся двумя точками. Но мы же не будет отождествлять две точки и линейную функцию? То есть, мы же не будем говорить, что две точки и линейная функция - это одно и тоже?

Точно также и в ТФКП. Мы можем сказать: есть функция $f(z)$, заданная на области $C$, и есть её аналитическое продолжение $\tilde{f(z)}$, и это разные функции.

А можем сказать, что аналитическая функция $\tilde{f(z)}$ задана своими значениями в области $C$.

[Doctor Boom]

EUgeneUS в сообщении #1561452 писал(а):

То есть, мы же не будем говорить, что две точки и линейная функция - это одно и тоже?

Точно также и в ТФКП. Мы можем сказать: есть функция $f(z)$, заданная на области $C$, и есть её аналитическое продолжение $\tilde{f(z)}$, и это разные функции

Вы так и не показали, где такое разграничение может привести к интересным результатам, а значит оно искусственно (противоречит духу ТФКП)

[Doctor Boom]

Otta в сообщении #1561413 писал(а):

Любую можно разложить. Задача: разложить на отрезке $(0,\pi)$ указанную функцию а) по синусам. б) по косинусам, в) по косинусам и синусам.

Другая задача: ту же функцию по косинусам и синусам на отрезке $(\pi/2, 3\pi/2)$. Построить графики сумм (на всей прямой, они периодические). 4 штуки.

По первой задаче
1. По синусам, надо на отрезке $(-\pi, 0)$ достроить функцию так, чтобы она была нечетной, т.е. $f(x)=-f(-x)$, в нуле будет ноль, остальное все два пи периодично
2. По косинусам то же самое, только функция должна быть четной
3. По синусам и косинусам, функция будет просто пи-периодичной, т.е. $f(x+\pi)=f(x)$
По второй задаче
1. По синусам, надо на отрезке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ достроить функцию так, чтобы она была четной
2. По косинусам, тоже самое, только нечетной, т.е. имеем инвертацию с первой задачей)
3. По синусам и косинусам, так же, как в первой задаче
Мне вот одна мысль пришла, а что если у нас функция на отрезке $(\alpha, \alpha+\pi)$, и мы хотим разложить по синусам, то как в общем случае будет? Т.е. помимо четных и нечетных функций можно ввести другие, промежуточные?
И да, а что вы хотели этим показать?

[Otta]

А Вы к чему ряды Фурье вспомнили? Что тогда, что сейчас?