Неравенство не Чебышёва

[novichok2018]

Вопрос о доказательстве такого неравенства.
Пусть функции $a(t),b(t)$ неотрицательные, одновременно возрастающие или убывающие, доказать что для $\forall x$>0 справедливо неравенство

$$ \int_0^x a(x-t)b(t)\,dt \leq \int_0^x a(t)b(t)\,dt. $$

Я знаю, что в задачнике Садовничий, Григорьян, Конягин есть доказательство, там это неравенство названо неравенством Чебышёва, но похоже у Чебышёва такого неравенства или подобного нет.
Хочется найти другое доказательство, более короткое и понятное. Лучше всего вывести из настоящего неравенства Чебышёва, неравенств мажоризации, перестановок или чего-то аналогичного. В упомянутом задачнике требований неотрицательности нет.

[Padawan]

Можно использовать вторую теорему о среднем. Пусть функции $a(t), b(t)$ неотрицательны и возрастают. Тогда

$$ \int_0^x(a(t) -a(x-t)) b(t) dt=b(x) \int_\xi^x(a(t) -a(x-t)) dt=b(x) \left(\int_\xi^x a(t) dt-\int_0^{x-\xi}a(t) dt\right) \geqslant 0 $$

-- Ср июл 20, 2022 12:34:29 --

novichok2018 в сообщении #1560578 писал(а):

В упомянутом задачнике требований неотрицательности нет.

Я использовал только неотрицательность $b(t) $. Но если к функции $b(t)$ добавить константу, то левая и правая часть неравенства изменятся на одну и ту же величину (произведение этой константы на интеграл от $a(t)$), и неравенство не изменится. Поэтому, действительно, неотрицательность можно не требовать.

Я все время считаю, что интеграл собственный по отрезку $[0, x]$.

[novichok2018]

Padawan - спасибо, но у меня замкнуло, не пойму, почему последняя скобка неотрицательна, туплю.

[gris]

А это не от того, что функции возрастают? А если обе убывают, то можно замену сделать.
Напоминает, что скалярное произведение двух векторов с возрастающими значениями элементов убудет, если один из векторов развернуть.

[zykov]

Выглядит как обобщение того, что если $a_1<a_2$ и $b_1<b_2$, то $a_1 b_1+a_2 b_2 > a_1 b_2 + a_2 b_1$.
Что верно, т.к. $(a_1 b_1+a_2 b_2) - (a_1 b_2 + a_2 b_1) = (a_2-a_1) (b_2-b_1) > 0$.

Аналогично

$$\int_0^x a(t)b(t)\,dt - \int_0^x a(x-t)b(t)\,dt = \int_0^x (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt =$$

$$= \int_0^{x/2} (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt + \int_{x/2}^x (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt =$$ $$= \int_0^{x/2} \left( \; (a(t)b(t) - a(x-t)b(t)) + (a(x-t)b(x-t) - a(t)b(x-t)) \; \right) \,dt = $$

$$= \int_0^{x/2} (a(x-t) - a(t)) (b(x-t) - b(t))\,dt > 0$$

[novichok2018]

zykov -это простейший вариант классики мажоризации, перестановок. Я про дискретное неравенство.

[zykov]

novichok2018 в сообщении #1560684 писал(а):

Я про дискретное неравенство

Это про какое? Где оно?

Вроде речь про это:

novichok2018 в сообщении #1560578 писал(а):

справедливо неравенство

$$ \int_0^x a(x-t)b(t)\,dt \leq \int_0^x a(t)b(t)\,dt. $$

[novichok2018]

zykov - про дискретное неравенство в начале Вашего сообщения. Скалярное произведение максимально, если вектора упорядочены по возрастанию, минимально - если один по возрастанию, другой по убыванию. Верное и когда сомножители суммируются не по два, а сколько угодно сомножителей. Можно посмотреть в Харди, Литтльвуд, Пойа, перестановки и мажоризация.
А с первоначальным неравенством я разобрался, всё нужное оказалось в указанном выше задачнике. Это прямое следствие классического интегрального неравенства Чебышёва в пару строк.