2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство не Чебышёва
Сообщение20.07.2022, 07:20 
Заблокирован


16/04/18

1129
Вопрос о доказательстве такого неравенства.
Пусть функции $a(t),b(t)$ неотрицательные, одновременно возрастающие или убывающие, доказать что для $\forall x$>0 справедливо неравенство
$$
\int_0^x a(x-t)b(t)\,dt \leq \int_0^x a(t)b(t)\,dt.
$$
Я знаю, что в задачнике Садовничий, Григорьян, Конягин есть доказательство, там это неравенство названо неравенством Чебышёва, но похоже у Чебышёва такого неравенства или подобного нет.
Хочется найти другое доказательство, более короткое и понятное. Лучше всего вывести из настоящего неравенства Чебышёва, неравенств мажоризации, перестановок или чего-то аналогичного. В упомянутом задачнике требований неотрицательности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение20.07.2022, 10:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Можно использовать вторую теорему о среднем. Пусть функции $a(t), b(t)$ неотрицательны и возрастают. Тогда
$$
 \int_0^x(a(t) -a(x-t)) b(t) dt=b(x) \int_\xi^x(a(t) -a(x-t)) dt=b(x) \left(\int_\xi^x a(t) dt-\int_0^{x-\xi}a(t) dt\right) \geqslant 0
$$

-- Ср июл 20, 2022 12:34:29 --

novichok2018 в сообщении #1560578 писал(а):
В упомянутом задачнике требований неотрицательности нет.

Я использовал только неотрицательность $b(t) $. Но если к функции $b(t)$ добавить константу, то левая и правая часть неравенства изменятся на одну и ту же величину (произведение этой константы на интеграл от $a(t)$), и неравенство не изменится. Поэтому, действительно, неотрицательность можно не требовать.

Я все время считаю, что интеграл собственный по отрезку $[0, x]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение20.07.2022, 13:26 
Заблокирован


16/04/18

1129
Padawan - спасибо, но у меня замкнуло, не пойму, почему последняя скобка неотрицательна, туплю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение20.07.2022, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А это не от того, что функции возрастают? А если обе убывают, то можно замену сделать.
Напоминает, что скалярное произведение двух векторов с возрастающими значениями элементов убудет, если один из векторов развернуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение20.07.2022, 23:04 


18/09/21
1676
Выглядит как обобщение того, что если $a_1<a_2$ и $b_1<b_2$, то $a_1 b_1+a_2 b_2 > a_1 b_2 + a_2 b_1$.
Что верно, т.к. $(a_1 b_1+a_2 b_2) - (a_1 b_2 + a_2 b_1) = (a_2-a_1) (b_2-b_1) > 0$.

Аналогично
$$\int_0^x a(t)b(t)\,dt - \int_0^x a(x-t)b(t)\,dt = \int_0^x (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt =$$
$$= \int_0^{x/2} (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt + \int_{x/2}^x (a(t)b(t) - a(x-t)b(t))\,dt =$$
$$= \int_0^{x/2} \left( \; (a(t)b(t) - a(x-t)b(t)) + (a(x-t)b(x-t) - a(t)b(x-t)) \; \right) \,dt = $$
$$= \int_0^{x/2} (a(x-t) - a(t)) (b(x-t) - b(t))\,dt > 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение21.07.2022, 13:26 
Заблокирован


16/04/18

1129
zykov -это простейший вариант классики мажоризации, перестановок. Я про дискретное неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение21.07.2022, 19:47 


18/09/21
1676
novichok2018 в сообщении #1560684 писал(а):
Я про дискретное неравенство
Это про какое? Где оно?

Вроде речь про это:
novichok2018 в сообщении #1560578 писал(а):
справедливо неравенство
$$
\int_0^x a(x-t)b(t)\,dt \leq \int_0^x a(t)b(t)\,dt.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство не Чебышёва
Сообщение21.07.2022, 22:35 
Заблокирован


16/04/18

1129
zykov - про дискретное неравенство в начале Вашего сообщения. Скалярное произведение максимально, если вектора упорядочены по возрастанию, минимально - если один по возрастанию, другой по убыванию. Верное и когда сомножители суммируются не по два, а сколько угодно сомножителей. Можно посмотреть в Харди, Литтльвуд, Пойа, перестановки и мажоризация.
А с первоначальным неравенством я разобрался, всё нужное оказалось в указанном выше задачнике. Это прямое следствие классического интегрального неравенства Чебышёва в пару строк.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group