Поскольку в Б&Т мне лень заглядывать, то приведу
(своё решение)
Пусть у нас провод расположен вертикально, Ток течет вниз, а заряд расположен справа и изначально летит вверх.
Мы считаем угол направления скорости заряда относительно оси Х
Сразу можно использовать постоянство скорости по величине
![$v_0$ $v_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/1/751613a1a4da78db7647a339cbf261c382.png)
Итак запишем нужные соотношения:
1.
![$dx=v_0\cos \varphi dt$ $dx=v_0\cos \varphi dt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/6/1265f3c99cd31e8568a3ff21ec983f0282.png)
2.
![$v_0 d\varphi = adt = \frac{\mu_0 qIv_0}{2\pi xm }dt$ $v_0 d\varphi = adt = \frac{\mu_0 qIv_0}{2\pi xm }dt$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/4/be4f64005f8abc95c6229ac4ed2bc5e482.png)
Или
3. d
![$\varphi = \frac{\mu_0 qI}{2\pi xm }dt $ $\varphi = \frac{\mu_0 qI}{2\pi xm }dt $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1e09bfcc54c25d39ac512baf8cf59382.png)
Из 3. Формулы подставим значение
![$dt$ $dt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/8/5a8af6f173febd968ef4c52695efcf8582.png)
В уравнение 1.
И сразу получим уравнение, связывающее
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
![$dx=v_0 \cos\varphi\frac{2\pi xm }{\mu_0 qI}d\varphi$ $dx=v_0 \cos\varphi\frac{2\pi xm }{\mu_0 qI}d\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/d/8bdfdccf1295a57cac627acf9318fd1d82.png)
Или после раздела переменных :
![$\frac{dx}{x}=\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}\cos\varphi d\varphi$ $\frac{dx}{x}=\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}\cos\varphi d\varphi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/0/ba0433f7ccf12238fa7ea20014e05e0982.png)
После интегрирования и учета начальных условий что при
![$\varphi=\frac{\pi}{2}$ $\varphi=\frac{\pi}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/0/4a071d15654e5df34494842e68f389b282.png)
,
![$x=x_0$ $x=x_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c471afe624d7aaf273cbc3c5720fd382.png)
имеем:
![$x=x_0\exp(\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}(1-\sin\varphi))$ $x=x_0\exp(\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}(1-\sin\varphi))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/f/2af10848459d3960001413cdc51714e282.png)
Откуда сразу можно получить значение
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
при любом значении угла
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
.
Теперь нам надо избавиться от зависимости
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
От времени в формуле 2.
Нам надо в формулу 3. Подставить только что найденное
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
Через угол. Получим:
![$dt=\frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$ $dt=\frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/d/9dd6d8a26054aff92e8af7767269ede982.png)
Теперь формула 2. Будет выглядеть следующим образом:
![$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$ $dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/b/e1b10d34064d67ae8fce263e854e2b7882.png)
Теперь, учитывая что показатель экспоненты близок к нулю, имеем:
![$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$ $dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/4/f94d0c88d1cd0fb11f7fee16c1da8ceb82.png)
![$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$ $dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/4/f94d0c88d1cd0fb11f7fee16c1da8ceb82.png)
Или смещение за один оборот дает:
![$\Delta y=$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{3\pi}{2}}v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi=\pi x_0 (\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI})^2$ $\Delta y=$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{3\pi}{2}}v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi=\pi x_0 (\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI})^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/3/7a3db1dff62f9a21b7699d2c4f17df3e82.png)
Остается найти период.
Но поскольку у нас вращение практически по кругу, то справедлива формула:
![$\Delta t= \frac{(2\pi )^2x_0 m}{\mu_0 qI}$ $\Delta t= \frac{(2\pi )^2x_0 m}{\mu_0 qI}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/f/e3f8e6e7db4f4aae7328df6fbee6424b82.png)
И тогда скорость дрейфа будет:
![$u=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\pi mv_0^2}{\mu_0 qI}$ $u=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\pi mv_0^2}{\mu_0 qI}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/9/0f9be5560efbf0e3f86bb2f6e602d5e982.png)