Дрейф

[fred1996]

Вблизи длинного прямолинейного провода, по которому течёт ток $I$, поместили частицу с зарядом $q$ и массой $m$ на расстоянии $r_0$ от провода и сообщили ей скорость $v_0$, направленную против тока.
1. Найдите минимальное $r_1$ и максимальное $r_2$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?
2. Найдите скорость $u$ дрейфа частицы, то есть скорость смещения вдоль
провода максимально и минимально удалённых от него точек траектории при условии
$\alpha=2\pi \frac{mv_0}{\mu_0qI}<<1$
$\mu_0$— магнитная постоянная.
Гравитации нет.

[Lia]

Еще есть такой значок $\lll$ -- \ll, рекомендую.

[DimaM]

В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, N 706.

[fred1996]

Поскольку в Б&Т мне лень заглядывать, то приведу

(своё решение)

Пусть у нас провод расположен вертикально, Ток течет вниз, а заряд расположен справа и изначально летит вверх.
Мы считаем угол направления скорости заряда относительно оси Х
Сразу можно использовать постоянство скорости по величине $v_0$
Итак запишем нужные соотношения:
1. $dx=v_0\cos \varphi dt$
2. $dy=v_0\sin \varphi dt$
$v_0 d\varphi = adt = \frac{\mu_0 qIv_0}{2\pi xm }dt$
Или
3. d$\varphi = \frac{\mu_0 qI}{2\pi xm }dt $

Из 3. Формулы подставим значение $dt$ В уравнение 1.
И сразу получим уравнение, связывающее $x$ и $\varphi$

$dx=v_0 \cos\varphi\frac{2\pi xm }{\mu_0 qI}d\varphi$
Или после раздела переменных :
$\frac{dx}{x}=\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}\cos\varphi d\varphi$
После интегрирования и учета начальных условий что при $\varphi=\frac{\pi}{2}$, $x=x_0$ имеем:
$x=x_0\exp(\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}(1-\sin\varphi))$
Откуда сразу можно получить значение $x$ при любом значении угла $\varphi$.
Теперь нам надо избавиться от зависимости $y$ От времени в формуле 2.
Нам надо в формулу 3. Подставить только что найденное $x$ Через угол. Получим:
$dt=\frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Теперь формула 2. Будет выглядеть следующим образом:
$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Теперь, учитывая что показатель экспоненты близок к нулю, имеем:
$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$

$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Или смещение за один оборот дает:
$\Delta y=$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{3\pi}{2}}v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi=\pi x_0 (\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI})^2$
Остается найти период.
Но поскольку у нас вращение практически по кругу, то справедлива формула:
$\Delta t= \frac{(2\pi )^2x_0 m}{\mu_0 qI}$
И тогда скорость дрейфа будет:
$u=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\pi mv_0^2}{\mu_0 qI}$

[svv]

fred1996 в сообщении #1560476 писал(а):

1. Найдите минимальное $r_1$ и максимальное $r_2$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?

СГС
Введём цилиндрическую систему координат $(r,\varphi,z)$, провод с током — ось $Oz$.
Магнитное поле $B_\varphi=\frac{2I}{cr}$, векторный потенциал $A_z=-\frac{2I}{c}\ln r$, остальные компоненты нулевые.

(Логарифм от размерной величины?)

Спокойно, всё под контролем.

Лагранжиан $L=\frac{mv^2}{2}+\frac q c\mathbf A\cdot\mathbf v$. Поскольку $\mathbf A$ не зависит от $z$, лагранжиан не зависит от $z$ явно. А потому сохраняется во времени компонента обобщённого импульса
$P_z=\frac{\partial L}{\partial v_z}=mv_z+\frac{q}{c}A_z=mv_z-\frac{2qI}{c^2}\ln r$
Значит, для двух произвольных точек траектории («0» и «1») имеем
$\dfrac{r_1}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2(v_{z1}-v_{z0})}{2qI}$

В частности, при
$v_{z0}=-v_0,\;\;v_{z1}=0,\;\;v_{z2}=+v_0$
получим
$\dfrac{r_1}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2v_0}{2qI}\,,\quad\dfrac{r_2}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2v_0}{qI}$