2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дрейф
Сообщение19.07.2022, 04:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Вблизи длинного прямолинейного провода, по которому течёт ток $I$, поместили частицу с зарядом $q$ и массой $m$ на расстоянии $r_0$ от провода и сообщили ей скорость $v_0$, направленную против тока.
1. Найдите минимальное $r_1$ и максимальное $r_2$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?
2. Найдите скорость $u$ дрейфа частицы, то есть скорость смещения вдоль
провода максимально и минимально удалённых от него точек траектории при условии
$\alpha=2\pi \frac{mv_0}{\mu_0qI}<<1$
$\mu_0$— магнитная постоянная.
Гравитации нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дрейф
Сообщение19.07.2022, 04:35 


20/03/14
12041
Еще есть такой значок $\lll$ -- \ll, рекомендую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дрейф
Сообщение19.07.2022, 09:11 
Заслуженный участник


28/12/12
7802
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, N 706.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дрейф
Сообщение23.07.2022, 06:43 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Поскольку в Б&Т мне лень заглядывать, то приведу

(своё решение)

Пусть у нас провод расположен вертикально, Ток течет вниз, а заряд расположен справа и изначально летит вверх.
Мы считаем угол направления скорости заряда относительно оси Х
Сразу можно использовать постоянство скорости по величине $v_0$
Итак запишем нужные соотношения:
1. $dx=v_0\cos \varphi dt$
2. $dy=v_0\sin \varphi dt$
$v_0 d\varphi = adt = \frac{\mu_0 qIv_0}{2\pi xm }dt$
Или
3. d$\varphi = \frac{\mu_0 qI}{2\pi xm }dt $

Из 3. Формулы подставим значение $dt$ В уравнение 1.
И сразу получим уравнение, связывающее $x$ и $\varphi$

$dx=v_0 \cos\varphi\frac{2\pi xm }{\mu_0 qI}d\varphi$
Или после раздела переменных :
$\frac{dx}{x}=\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}\cos\varphi d\varphi$
После интегрирования и учета начальных условий что при $\varphi=\frac{\pi}{2}$, $x=x_0$ имеем:
$x=x_0\exp(\frac{2\pi v_0 m}{\mu_0 qI}(1-\sin\varphi))$
Откуда сразу можно получить значение $x$ при любом значении угла $\varphi$.
Теперь нам надо избавиться от зависимости $y$ От времени в формуле 2.
Нам надо в формулу 3. Подставить только что найденное $x$ Через угол. Получим:
$dt=\frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Теперь формула 2. Будет выглядеть следующим образом:
$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}\exp(\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Теперь, учитывая что показатель экспоненты близок к нулю, имеем:
$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$

$dy=v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi$
Или смещение за один оборот дает:
$\Delta y=$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{3\pi}{2}}v_0\sin \varphi \frac{2\pi mx_0}{\mu_0 qI}(1+\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI}(1-\sin \varphi))d\varphi=\pi x_0 (\frac{2\pi mv_0}{\mu_0 qI})^2$
Остается найти период.
Но поскольку у нас вращение практически по кругу, то справедлива формула:
$\Delta t= \frac{(2\pi )^2x_0 m}{\mu_0 qI}$
И тогда скорость дрейфа будет:
$u=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\pi mv_0^2}{\mu_0 qI}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дрейф
Сообщение23.07.2022, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10815
Crna Gora
fred1996 в сообщении #1560476 писал(а):
1. Найдите минимальное $r_1$ и максимальное $r_2$ расстояния частицы от провода в процессе движения. На каком расстоянии от провода скорость частицы направлена перпендикулярно к нему?
СГС
Введём цилиндрическую систему координат $(r,\varphi,z)$, провод с током — ось $Oz$.
Магнитное поле $B_\varphi=\frac{2I}{cr}$, векторный потенциал $A_z=-\frac{2I}{c}\ln r$, остальные компоненты нулевые.

(Логарифм от размерной величины?)

Спокойно, всё под контролем.
Лагранжиан $L=\frac{mv^2}{2}+\frac q c\mathbf A\cdot\mathbf v$. Поскольку $\mathbf A$ не зависит от $z$, лагранжиан не зависит от $z$ явно. А потому сохраняется во времени компонента обобщённого импульса
$P_z=\frac{\partial L}{\partial v_z}=mv_z+\frac{q}{c}A_z=mv_z-\frac{2qI}{c^2}\ln r$
Значит, для двух произвольных точек траектории («0» и «1») имеем
$\dfrac{r_1}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2(v_{z1}-v_{z0})}{2qI}$

В частности, при
$v_{z0}=-v_0,\;\;v_{z1}=0,\;\;v_{z2}=+v_0$
получим
$\dfrac{r_1}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2v_0}{2qI}\,,\quad\dfrac{r_2}{r_0}=\exp\dfrac{mc^2v_0}{qI}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group