Вращение растяжимого жгута с грузом на конце

[amon]

lel0lel в сообщении #1560119 писал(а):

А у вас в этой формуле разве не должно ещё на площадь умножаться, которая является функцией $s$ или $x$?

А у меня нет никакой площади. $T$ это полная сила, приложенная к сечению нити, $s$ - длина нити, $x$ - длина не растянутой нити. Тогда $T=E\left(\frac{ds}{dx}-1\right)$ - просто закон Гука в одномерном случае. Соответственно, мое $\rho$ - масса единицы длины не растянутой нити. Как эти величины соотносятся с трехмерными в данной задаче меня не волнует.

[lel0lel]

amon
То есть у fred1996 неверная следующая запись?

fred1996 в сообщении #1560043 писал(а):

то согласно закону Гука имеем:
$T(x)=-SE\frac{dx-dx_0}{dx_0}$

Или у вас разные обозначения? В общем, по-моему, производная площади должна быть. А её можно выразить через функцию $y=f(x)$, здесь $x$ - старая координата, $y$ - новая.

[amon]

lel0lel в сообщении #1560122 писал(а):

Или у вас разные обозначения?

Разные (даже по размерности). Берем кусок шнура длиной $l$, подвешиваем к нему груз массой $m$. Измеряем удлинение $\Delta l$. Считаем "модуль Юнга" по формуле $mg=E\frac{\Delta l}{l},$ получится "мой" модуль Юнга. Уважаемый fred1996 пытается использовать стандартное трехмерное определение, что, IMHO, в данной задаче не нужно, и только запутывает. В условии задачи задан "коэффициент растяжения". Что это такое не уточняется, но если взять естественное определение (в обозначениях выше) $\frac{\Delta l}{l}=kmg,$ то получится обратный "мой" модуль Юнга.

[fred1996]

amon
Наверное вы правы.
Формулировку задачи я взял с одной республиканской олимпиады. И там было в условии чётко прописано постоянство поперечного сечения с модулем Юнга. Поэтому я и решил воспользоваться таким Гуком.
А здесь дал формулировку по памяти для одномерного жгута.

(Оффтоп)

Кстати, на этой задаче число просмотров на моем русском ютюбе перевалило за первую тысячу. Хотя, одновременно 2 человека отписалось.

[lel0lel]

Пусть жгут растянут до длины $L$ в центробежном поле и каждое сечение в равновесии. Пусть $x$ -- координата сечения до растяжения; y -- координата этого же сечения после растяжения. Имеем некоторую гладкую функцию $y=f(x)$, обратная к ней $x=g(y)$. Натяжение в точке с координатой $y$ равно $T(y)=E S(y)\frac{dy-dx}{dx}=ES(y)\Big(\frac{1}{g'(y)}-1\Big)$. Неизменность объема бесконечно-малого элемента жгута: $S_0 dx=S(y)dy$, то есть $S(y)=S_0g'(y)$. Уравнение равновесия малого элемента $dy$ имеет вид $-T'(y)dy=\rho S(y)dy \omega^2 y$, то есть

$$E g''(y)=\rho \omega^2 y g'(y).$$

Граничные условия: $g(0)=0, g(L)=L_0$.
Общее решение диффура:

$$g(y)=C_1 \operatorname {erfi} \left(\frac{\sqrt{\rho} \omega y}{\sqrt{2E}}\right)+C_2,$$

где $\operatorname {erfi}(z)=\operatorname {erf}(iz)/i$. Используем граничные условия, решение примет вид:

$$g(y)=L_0\frac{ \operatorname {erfi} \left(\frac{\sqrt{\rho} \omega y}{\sqrt{2E}}\right)}{ \operatorname {erfi} \left(\frac{\sqrt{\rho} \omega L}{\sqrt{2E}}\right)}.$$

Натяжение на правом конце известно:
$T(L)=E S_0 \Big(1-g'(L)\Big)=M\omega^2 L$. Это уравнение позволит определить длину жгута $L$. Правда уравнение слегка трансцендентное.

Конечно, гарантии правильности всего этого полёта мысли нет пока никакой, но хотя бы площадь учитывается и зависимость похожа на правду.

(Оффтоп)

lel0lel в сообщении #1560011 писал(а):

Энергия $E(L)=\frac{k(L-L_0)^2}{2}+M\omega^2L^2/2+m \omega^2L^2/8$. Ищем минимум.

Это была абсолютная глупость. Так не получится даже для невесомых пружин, ведь над системой совершают работу.

[amon]

lel0lel в сообщении #1560162 писал(а):

$S(y)=S_0g'(y)$. Уравнение равновесия малого элемента $dy$ имеет вид $-T'(y)dy=\rho S(y)dy \omega^2 y$, то есть

IMHO, здесь что-то не так. В одномерии так: возьмем кусочек не растянутого шнурка длиной $dx,$ его масса $\rho_0dx.$ Растянем его так, что бы его длина стала $ds.$ Тогда $\rho_0dx=\rho ds,$ откуда $\frac{\rho_0}{\rho}=\frac{ds}{dx},$ тогда $\rho=\frac{\rho_0}{\frac{ds}{dx}}$ и это не зависит от того, как меняется площадь сечения. Пользуясь одномерным законом Гука можно переписать это как

$$\rho=\frac{\rho_0}{1+\frac{T}{E}},\,T=E\left(\frac{ds}{dx}-1\right).$$

Если честно писать трехмерные выражения с площадью, то, возможно, надо учитывать пуассоновское сжатие.

[lel0lel]

amon в сообщении #1560170 писал(а):

Пользуясь одномерным законом Гука

Вопрос в том, что считать гуковской резиной. Или у неё $E S=\operatorname{const}$ при любых деформациях, или $E=\operatorname{const}$. Второе, по-моему чаще встречается в определённом диапазоне деформаций.

На всякий случай, раз ранее функционал энергии упоминался, замечу, что
можно свести задачу к минимизации функционала полной потенциальной энергии в центробежном поле $\varphi(y)=-1/2 \omega^2 y^2$, то бишь $W[g(y)]$ (потенциальная энергия деформации плюс энергия в центробежном поле). Но будет не по школьному.

[amon]

lel0lel в сообщении #1560179 писал(а):

можно свести задачу к минимизации функционала полной потенциальной энергии в центробежном поле $\varphi(y)=-1/2 \omega^2 y^2$

Я попробовал, у меня не получилось. В силе инерции стоит $\rho,$ которое зависит от производной $y$ в знаменателе. Поэтому в лоб потенциал вроде как не пишется, а не в лоб, после преобразования уравнений, вариационный принцип вроде и не нужен - уравнение в уме решается.

[reterty]

Целую неделю "убил" на эту задачу. Вердикт таков: результаты уважаемых lel0lel и fred1996 будут совпадать в пределе малых деформаций (точнее когда интегральная относительная деформация мала). А это как раз то что нам нужно, поскольку в задаче требуется применение закона Гука в дифференциальной форме. в случае больших деформаций решение lel0lel более корректно, поскольку учитывает измение поперечного сечения. Однако, при больших деформациях нужно учитывать и отклонения нелинейные от закона Гука (см. топик. topic128791.html). Ниже приведу правильное "школьное" решение (уж простите за мой аглицкий).

Let us consider the homogeneous tourniquet of mass $m$ and natural length $l$ with stiffness $k=ES/l$, where $E$ is the Young's modulus, $S$ is the cross-sectional area of the tourniquet. One of its end is fixed on a smooth table, and point mass $M$ is attached to the other end. We assume that the tourniquet uniformly rotates in horizontal plane with an angular velocity of $\omega$. Let $x$ be the horizontal coordinate of some cross-section before stretching. In this case, according to the Hooke's law, the absolute value of tension force $T$ at the cross-section with coordinate $x$ is equal to

$$ T(x)=E S \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}=k l\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} . $$

where $u(x)>0$ is the elongation of the tourniquet element of length $x$. Equation (1) (the linear theory) is valid for small deformations, where $u(x)\ll x$ and ${\rm d}u \ll {\rm d}x$.

In the reference frame associated with the rotating tourniquet, the equilibrium equation of its infinitesimal element ${\rm d}x$ has the following form:

$$ T+{\rm d}T + F_{\rm centrifugal}-T=0, $$

or

$$ {\rm d}T(x) =-{\rm d}m \omega^2 \left[ x+u(x)\right] \approx -{\rm d}m \omega^2 x, $$

where ${\rm d}m=(m/l){\rm d}x$ is the mass of the infinitesimal element ${\rm d}x$.

Using equations (1) and (2), we get:

$$ \frac{{{\rm d^2}u}}{{\rm d}x^2}=-\frac{m \omega^2}{kl^2}x. $$

Hence

$$ \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}=-\frac{m \omega^2}{2kl^2}x^2+C_1. $$

Since $T(l+u(l))=M\omega^2(l+u(l))\approx T(l)\approx M\omega^2 l$, then using equation (1), we obtain the integration constant:

$$ C_1=\left( M+\frac{m}{2}\right)\frac{\omega^2}{k}. $$

Therefore, in the case of $m\neq 0$ the deformation is inhomogeneous (${\rm d}u/{\rm d}x \neq \operatorname{const}$). Equations (1), (5), and (6) also tell us that the tension force is maximum at the tourniquet attachment point and decreases quadratically with increasing $x$-coordinate.

Considering again equations (5) and (6), we derive:

$$ u(x)=-\frac{m \omega^2}{6kl^2}x^3+\left( M+\frac{m}{2}\right)\frac{\omega^2}{k}x+C_2. $$

At $x=0$ $u=0$. Then $C_2=0$. Applying equation (7), we find the total elongation:

$$ \Delta l=u(l)=\left( M+\frac{m}{3}\right)\frac{\omega^2 l}{k}. $$

[lel0lel]

reterty
При малых деформациях, а следовательно, при малых скоростях, решения конечно совпадают. Но в целом, такой способ учёта изменяющейся площади сечения тоже, по-моему, некорректный. Надо стартовать с дифференциального закона, в котором учитывается изменение площади. Поэтому, предлагаю просто рассматривать это решение как простую модель, в которой пытаются учесть, что профиль жгута изменяется. К тому же, функция интересная в решении возникает $\operatorname{erfi}(z)$, мне раньше не приходилось с ней встречаться. Получающийся профиль я проверял. Получается, что наименьшее сечение жгута вблизи оси вращения.

[fred1996]

Небольшая ремарка.
В школьных задачах на растяжение, когда не учитывается масса растягиваемой нити, жгута, и т д, а она в принципе никогда не учитывается, никто не заморачивается изменением пощади поперечного сечения. Считается, что растяжение чисто гуковское. Что задача чисто одномерная.
В любой задаче по физике мы придерживаемся каких-то допущений, которые в реальной жизни могут быть некорректны. Например в этой задаче . А почему, если предлагается учитывать изменение площади поперечного сечения, мы не учитываем сопротивление жгута поперечному сжатию? Предположим, что материал жгута изотропен на деформации по любому направлению. То есть он будет сопротивляться не только растяжению, но и поперечному сжатию. Вот кстати неплохая задачка.
Пусть у нас жгут имеет модуль Юнга Y в любом направлении. Рассчитать его к-т линейного растяжения с учётом всех деформаций при малых растяжениях. Ну а потом рассчитать $\Delta X(F)$ при заданных $L, R, Y$

[amon]

fred1996 в сообщении #1569116 писал(а):

Пусть у нас жгут имеет модуль Юнга Y в любом направлении. Рассчитать его к-т линейного растяжения с учётом всех деформаций при малых растяжениях.

Тут у Вас некая путаница в теории упругости. Модуль Юнга для изотропной среды по определению не зависит от направления и равен (для стержня)

$$E=\frac{p}{u_{zz}},$$

где $p$ - сила на единицу площади, а $u_{zz}$ - компонента тензора деформации вдоль стержня. Если ввести коэффициент всестороннего сжатия $K$ и модуль сдвига $\mu,$ то модуль Юнга равен

$$E=\frac{9K\mu}{3K+\mu},$$

а коэффициент Пуассона $u_{xx}=-\sigma u_{zz}$

$$\sigma=\frac{1}{2}\frac{3K-2\mu}{3K+\mu}$$