Вращение растяжимого жгута с грузом на конце

[fred1996]

Имеется однородный Гуковский жгут массы $m$ и естественной длины $L_0$ с к-том растяжения $k$. Один конец его закреплён на гладком столе, а к другому концу прикреплена точечная масса $M$.
Жгут раскручивают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega$. Определить длину жгута $L$ как функцию $\omega$
Имеется ввиду стационарная длина без колебаний. Всякими там трениями и сопротивлениями , как водится, пренебрегаемся.

[lel0lel]

Энергия $E(L)=\frac{k(L-L_0)^2}{2}+M\omega^2L^2/2+m \omega^2L^2/8$. Ищем минимум.

[amon]

lel0lel в сообщении #1560011 писал(а):

Энергия $E(L)=\frac{k(L-L_0)^2}{2}+M\omega^2L^2/2+m \omega^2L^2/8$.

IMHO, так не прокатит. Жгут тяжелый, растягивается неравномерно. Поэтому энергия - функционал от $L(r),$ а требовать знания вариационного исчисления от несчастных школьников, по-моему, перебор.

[lel0lel]

Да, я хотел сказать, что масса жгута неравномерно будет распределена, но задачка похожа на школьную.

[fred1996]

amon
А что, здесь задачки только для школьников?
Тут вот ходят разные погулять. :), да и с вариациями тут уже сталкивались.
Ну а так - задачка с одной республиканской олимпиады для школьников.
Задачка непростая. Требует аккуратного обращения с бесконечно малыми.

-- 12.07.2022, 06:29 --

lel0lel
Скажите ещё для обычных школ. :)

(Оффтоп)

Как вы наверное в курсе, сейчас пролопачиваю задачки олимпиадного уровня для своих YouTube каналов. Некоторые из них буду предварительно выкладывать здесь, так сказать для обкатки и новых идей. Очень часто предлагаемые решения довольно громоздки, и кажется, существуют более компактные и красивые. Красота ведь спасёт мир, правда?

[amon]

fred1996 в сообщении #1560017 писал(а):

Тут вот ходят разные погулять.

Ну, Тот Кто Сюда Гулять Ходил сразу бы сообразил, что

$$\frac{dT}{ds}+\frac{\rho\omega^2s}{1+kT}=0,$$

высказал бы все, что он думает о тех, кто этого не знает, и с чувством выполненного долга отправился бы в бан. (На всякий случай, $T$ - натяжение, $s$ - естественный параметр (длина) нити.)

[fred1996]

amon
И?
Есть две неизвестные функции и один дифур (кажись неправильный).
Пределы интегрирования опять же неизвестны.

[fred1996]

Давайте ка я начну, а может кто продолжит.
Пусть у нас для заданной $\omega$ Длина растянутого жгута $L$
Тогда натяжение жгута прямо у шарика $T(L)=ML\omega^2$
Одно граничное условие выписали.
Теперь рассмотрим движение малого элемента $dx$ с массой $dm$, у которого в недеформированном состоянии длина $dx_0$.
Для него можно записать уравнение движения в таком виде:
1). $dm\omega^2x=dT(x)$
Здесь у нас координата $x$ Относится к растянутому состоянию.
Тогда масса элемента $dm=\rho_0Sdx_0=\rho(x)Sdx$
Здесь $\rho_0$ - плотность недеформированного жгута.
Если у нас $S$ и $E$ поперечное сечение и модуль Юнга,
то согласно закону Гаука имеем:
$T(x)=-SE\frac{dx-dx_0}{dx_0}=-SE(\frac{\rho_0}{\rho(x)}-1)$

Тогда подставляя в формулу 1). выражения для $dm$ и $T(x)$, получаем следующее уравнение:
$\rho(x)S\omega^2xdx=ES\rho_0\frac{d\rho}{\rho^2(x)}$
Или
$xdx=\frac{E\rho_0}{\omega^2}\frac{d\rho}{\rho^3}$
Для окончательного решения нужно разобраться с пределами интегрирования.

[amon]

fred1996 в сообщении #1560041 писал(а):

Есть две неизвестные функции и один дифур (кажись неправильный).

Да, знак надо поправить. Должно быть

$$\frac{dT}{ds}-\frac{\rho\omega^2s}{1+kT}=0,$$

а дальше все почти тривиально. Пусть $x$ - координата точки на не растянутой нити, а $s(x)$ координата соответствующей точки растянутой. Тогда

$$T=E\left(\frac{ds}{dx}-1\right)$$

У нас $k=\frac{1}{E}$ и $1+kT=\frac{ds}{dx}.$ Умножив уравнение на это безобразие получим $\frac{ds}{dx}\frac{dT}{ds}-\dots=\frac{dT}{dx}-\dots.$ В результате имеем дифур вида

$$s''-\alpha^2s=0\;\text{с условиями}\;s(0)=0,\,E(s'(L_0)-1)=ms(L_0)\omega^2$$

[fred1996]

(Детальный разбор задачи на YouTube)

https://www.youtube.com/watch?v=VQ52wOvXAWY

-- 13.07.2022, 23:54 --

amon
Там не все так тривиально

[lel0lel]

Очень мне не нравится условие "изменением сечения жгута можно пренебречь", если уж стали диффуры записывать, так писать их честно. Диффуры будут немного сложнее. Оставить только условие неизменности модуля Юнга. Насчёт плотности тоже вопрос -- постоянной её считать вроде неверно, так как по идеи более натянутые участки должны уплотняться (здесь потребуются дополнительные данные, чтобы описать как происходит уплотнение), но и спрятать всю зависимость площади от координаты в плотность и сказать, что это единственная причина изменения плотности -- будет неверно.

Взять обычный медицинский жгут и раскрутить за один конец какой-то груз. Даже при небольших скоростях увидим переменное сечение.

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1560115 писал(а):

Насчёт плотности тоже вопрос -- постоянной её считать вроде неверно, так как по идеи более натянутые участки должны уплотняться

У резины коэффициент Пуассона близок к 0.5, так что объем при растяжении практически не меняется.

[lel0lel]

DimaM в сообщении #1560116 писал(а):

У резины коэффициент Пуассона близок к 0.5, так что объем при растяжении практически не меняется.

Хорошо, но тогда тем более неверно считать сечение постоянным. Сначала мне казалось, что можно зависимость сечения спрятать в зависимость плотности (просто эффективный трюк), но площадь присутствует в производной силы натяжения. То есть площадь прямым образом влияет на натяжение в каждой точке.

[amon]

lel0lel в сообщении #1560115 писал(а):

Очень мне не нравится условие "изменением сечения жгута можно пренебречь"

Так я им, вроде, и не пользуюсь. У меня одномерные плотности и одномерный модуль Юнга. Изменение сечения пропорционально $\mu/E,$ которое вроде как мало при всех разумных предположениях.

[lel0lel]

amon
Ваше решение я пока подробно не смотрел, но вот условие задачи на YouTube и решение fred1996 явно используют постоянство сечения.

А у вас в этой формуле разве не должно ещё на площадь умножаться, которая является функцией $s$ или $x$?

amon в сообщении #1560112 писал(а):

$T=E\left(\frac{ds}{dx}-1\right)$