Понятно, что дело в точных степенях (квадратах, кубах и т.д),
Этим же методом можно попробовать решить уравнение
![$2^a - 3^b = 2^c - 3^d$ $2^a - 3^b = 2^c - 3^d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/f/39f9d84bb7f067746b80df8b1b8b7f3182.png)
, доказав, что при достаточно большом
![$|n|$ $|n|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/f/fff5bb081ffe28da46469cb1e9dbc52e82.png)
уравнение
![$2^x - 3^y = n$ $2^x - 3^y = n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/5/e95e5309fb0db26e5b52e007fd38642582.png)
имеет не более одного решения. Но есть проблема. Нужно как-то получить оценки сверху на величину
![$x, y$ $x, y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/a/3da3fff6d8470c877cea225946d0766682.png)
. Я нашёл такую оценку:
![$|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$ $|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b19d83c357ad86be9625f6450e93a4282.png)
для некоторых эффективно вычислимых констант
![$c, C$ $c, C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/e/a4ef15e0b5fbf7d9c743f2f04b5780c782.png)
. Из этой оценки следует невозможность двух решений
![$2^x-3^y = n$ $2^x-3^y = n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e636c8097039fe88c8e7893f97abda882.png)
при достаточно больших
![$|n|$ $|n|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/f/fff5bb081ffe28da46469cb1e9dbc52e82.png)
. Но в этой теме не разбираюсь, поэтому не знаю насколько велики
![$C, c$ $C, c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/8/8688058b901f4ae24a4914b7d5ab37bf82.png)
. Если они не очень большие, то оставшиеся случаи рассматриваются перебором.