2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение02.06.2022, 15:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5649
Andrey A в сообщении #1556063 писал(а):
Последний пример: $9^a - 25^b = 9^c - 25^d$ . :mrgreen:
$9^c\left ( 9^{a-c}-1 \right )=25^d \left ( 25^{b-d}-1 \right );$ $9^n-1=A \cdot  25^d,\ 25^m-1=A \cdot  9^c.$ Отсюда два Пелля: $\left ( 3^n \right )^2-A \cdot  \left ( 5^d \right )^2=1;\ \left ( 5^m \right )^2-A \cdot  \left ( 3^c \right )^2=1.$ Смешно, конечно, но mathematician123, вопрос-то знакомый, где же взять для Вас по каждому поводу доказательств? Решения Пелля образуют последовательности подобные Люка, делимость по любому модулю периодична, и каждый член, начиная с некоторого номера имеет "собственный" простой делитель (первое вхождение). Даже квадраты при таких условиях встречаются разве что в ранних номерах, а тут нужно чтобы степени (в том числе и собственных делителей) образовались сразу в числителе и знаменателе подх. дроби. Но это ладно, тут у нас кроме всего прочего еще и не одно решение, а целых два! Расположим их как в последовательности подходящих дробей: $\sqrt{A} \approx \dfrac{3^n}{5^d}  \approx  \dfrac{5^m}{3^c}...\approx \dfrac{X_i}{Y_i}...$ Игреки Пелля образуют последовательность $0,Y_1,...,Y_{i+1}=2X_1Y_i-Y_{i-1}...$ и оказываются все кратны $Y_1$ из-за нуля в начале. В нашем случае знаменатели взаимно просты $(\gcd (5^d,3^c)=1)$, значит $Y_1=1$.

В общем виде имеем выражение через полиномы Чёбышева: $X_i = T_i(X_1)$ и $Y_i = Y_1\cdot U_{i-1}(X_1)$.
В нашем случае получаем: $3^n = T_s(X_1)$, $5^d = U_{s-1}(X_1)$, $5^m=T_t(X_1)$, $3^c = U_{t-1}(X_1)$ для некоторых $s,t$. Так как $U_i(X_1)$ четно для нечётного $i$, то оба индекса $s,t$ должны быть нечётны. Но тогда $X_1\mid T_s(X_1)=3^n$ и $X_1\mid T_t(X_1)=5^m$, то есть $X_1=1$, что совместно с $Y_1=1$ дает $A=0$. Поэтому с необходимостью имеем $a=c$ и $b=d$.

-- Thu Jun 02, 2022 07:21:22 --

mathematician123 в сообщении #1556072 писал(а):
Все эти уравнения, а также уравнение $8^a - 27^b = 8^c - 27^d$ можно решить без уравнения Пелля.

Рассказывайте, а мы посмотрим, не является ли ваше решений "без Пелля" просто перефомулировкой свойств уравнений Пелля тут возникающих на другой язык.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение02.06.2022, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1868
Санкт-Петербург
maxal в сообщении #1556162 писал(а):
... перефомулировкой свойств уравнений Пелля
Тут возникает уравнение $X^3-AY^3=1$, причем два решения в положительных числах. Известны ли вообще такие примеры? Не говоря уже о степенях двойки/тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение03.06.2022, 09:51 


21/04/22
321
Покажу мой метод на уравнении из стартового сообщения. Остальные уравнения решаются аналогично.

Лемма. Пусть $n$ - натуральное число. Если $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ - два решения уравнения $2^x-3^y = n$ в натуральных числах, где $x_2 > x_1$, то $x_2 > \frac{1}{3}|n|$ или $y_2 > \frac{1}{8}|n|$.

Доказательство. Из условия следует, что
$$2^{x_1} - 3^{y_1} = 2^{x_2} - 3^{y_2}$$
$$2^{x_1}(2^{x_2-x_1}-1) = 3^{y_1}(3^{y_2-y_1}-1)$$
Отсюда следует, что $x_2-x_1$ делится на $2 \cdot 3^{y_1-1}$ и $y_2-y_1$ делится на $2^{x_1-2}$. Тогда $x_2 > 2 \cdot 3^{y_1-1}$ и $y_2 > 2^{x_1-2}$. Также из $2^{x_1} - 3^{y_1} = n$ следует, что либо $2^{x_1} \ge \frac{|n|}{2}$, либо $3^{y_1} \ge \frac{|n|}{2}$. Тогда либо $x_2 > \frac{1}{3}|n|$, либо $y_2 > \frac{1}{8}|n|$.

Теперь докажем, что уравнение $4^x - 9^y = n$ имеет не более одного решения при любом натуральном $n$. Предположим, что $(x_1, y_1) $ и $(x_2, y_2) $ - два решения этого уравнения, причём $x_2 > x_1$.
$$(2^{x_2}-3^{y_2})(2^{x_2}+3^{y_2}) = n$$
Отсюда видно, что $2^{x_2} < |n|$ и $3^{y_2} < |n|$. Из леммы следует, что $x_2 > \frac{1}{6}|n|$ или $y_2 > \frac{1}{16}|n|$. Комбинируем полученные неравенства и получаем, что либо $2^{\frac{1}{6}|n|} < |n|$, либо $3^{\frac{1}{16}|n|} < |n|$. Оба эти неравенства невозможны при $|n| > 60$. Остальные значения $n$ проверяются перебором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение03.06.2022, 13:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Довольно оригинально, раньше мне не встречалось. Понятно, что дело в точных степенях (квадратах, кубах и т.д), но, к сожалению, не было времени серьезно над этим подумать. Выписал только показатели $\nu_3(4^x-1)$, $\nu_2(9^y-1)$ и на этом отложил до лучших времен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение03.06.2022, 17:57 


21/04/22
321
nnosipov в сообщении #1556293 писал(а):
Понятно, что дело в точных степенях (квадратах, кубах и т.д),

Этим же методом можно попробовать решить уравнение $2^a - 3^b = 2^c - 3^d$, доказав, что при достаточно большом $|n|$ уравнение $2^x - 3^y = n$ имеет не более одного решения. Но есть проблема. Нужно как-то получить оценки сверху на величину $x, y$. Я нашёл такую оценку: $|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$ для некоторых эффективно вычислимых констант $c, C$. Из этой оценки следует невозможность двух решений $2^x-3^y = n$ при достаточно больших $|n|$. Но в этой теме не разбираюсь, поэтому не знаю насколько велики $C, c$. Если они не очень большие, то оставшиеся случаи рассматриваются перебором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение03.06.2022, 18:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mathematician123 в сообщении #1556316 писал(а):
для некоторых эффективно вычислимых констант
На всякий случай, вот книга, которая может быть полезной: Shorey, Tijdeman, Exponential diophantine equations, Cambridge University Press, 1986. Давно ее отложил, но руки так и не дошли. Там фраза "effectively computed" довольно часто встречается (потому и вспомнил). Тема, безусловно, интригующая, но, подозреваю, тяжелая. Поэтому любые популярные тексты на этот сюжет были бы интересны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение04.06.2022, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
mathematician123 в сообщении #1556250 писал(а):
Также из $2^{x_1} - 3^{y_1} = n$ следует, что либо $2^{x_1} \ge \frac{|n|}{2}$, либо $3^{y_1} \ge \frac{|n|}{2}$.
Учитывая, что $2^{x_1}>0$ и $3^{y_1}>0$, на самом деле $\max\left\{2^{x_1},3^{y_1}\right\}>\lvert n\rvert$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение04.06.2022, 23:46 


21/04/22
321
RIP в сообщении #1556411 писал(а):
Учитывая, что $2^{x_1}>0$ и $3^{y_1}>0$, на самом деле $\max\left\{2^{x_1},3^{y_1}\right\}>\lvert n\rvert$.

Согласен. Получается, что здесь
mathematician123 в сообщении #1556250 писал(а):
Оба эти неравенства невозможны при $|n| > 60$.

Неравенства невозможны при $|n| > 22$. Хотя перебор и так был небольшим.

maxal в сообщении #1556162 писал(а):
В общем виде имеем выражение через полиномы Чёбышева: $X_i = T_i(X_1)$ и $Y_i = Y_1\cdot U_{i-1}(X_1)$.
В нашем случае получаем: $3^n = T_s(X_1)$, $5^d = U_{s-1}(X_1)$, $5^m=T_t(X_1)$, $3^c = U_{t-1}(X_1)$ для некоторых $s,t$. Так как $U_i(X_1)$ четно для нечётного $i$, то оба индекса $s,t$ должны быть нечётны. Но тогда $X_1\mid T_s(X_1)=3^n$ и $X_1\mid T_t(X_1)=5^m$, то есть $X_1=1$, что совместно с $Y_1=1$ дает $A=0$. Поэтому с необходимостью имеем $a=c$ и $b=d$.

Похоже, что это доказательство будет работать, если 3 и 5 заменить на любые другие нечётные взаимнопростые числа. То есть, все решения уравнения $r^{2a}-s^{2b} = r^{2c} - s^{2d}$ - это $a = c, b = d$, если $r$, $s$ нечётные взаимнопростые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных
Сообщение06.07.2022, 21:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5649
mathematician123 в сообщении #1556316 писал(а):
Нужно как-то получить оценки сверху на величину $x, y$. Я нашёл такую оценку: $|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$ для некоторых эффективно вычислимых констант $c, C$.

Конкретно для $|2^x-3^y|$ есть такой результат:
Mike Bennett in https://mathoverflow.net/q/69794 писал(а):
standard lower bounds for linear forms in $2$ logarithms show that
$$
\left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9},
$$
say, with precisely $23$ exceptions (this is a result from de Weger's thesis; the largest exception is with $(k,n)=(84,53)$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group