"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Значения $x(0)$, $y(0)$ могут быть выбраны произвольно и приписывать этому какой-то "физический смыл"... Увольте.

Не понял. Кривую понятно можно как-то "перемещать" на плоскости, ее начало также будет перемещаться- меняются $x(0)$, $y(0)$. Это имеется ввиду?

Вот еще что. Смотрю книжку про Циклоиду. Она начинается с того, что дается механическое представление кривой - как она получается, выводится уравнение. А потом автор говорит ( как я понял), что с точки зрения "математики" - такой подход нестрогий. Потому , что какое отношение колесо имеет к математике, и дает геометрическое представление Циклоиды через геометрические построения...кривой ( до возникновения анализа математики видимо не мало усилий потратили, чтобы поизучать циклоиду другими "инструментами")
Можно ли для кривой с потолка применить какие-то геометрические построения, чтобы она получилась?

[Алексей К.]

$x(0),y(0),\tau(0)$ --- произвольные начальные условия (произвольные постоянные интегрирования), возникающие при интегрировании натурального уравнения любой кривой.

e7e5 в сообщении #155735 писал(а):

Можно ли для кривой с потолка применить какие-то геометрические построения, чтобы она получилась?

Не знаю.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

Для прямой: угол наклона прямой - есть константа, дфференциал от конcтанты - ноль, т.е.
$k(s)=0$

Для прямой --- её кривизна постоянна и равна нулю. Для вывода натурального уравнения достаточно вслушаться в слова:

$$\fbox{\mbox{Прямая... Прямая... Прямая...}}$$

Видно плохо слушаю, какое же натуральне уравнение? ( формально нужно было $x$ исключить, чего-то не получается)

[Алексей К.]

Такое оно:

$$\fbox{$k(s)=0\quad\ldots\quad k(s)\equiv 0\quad\ldots\quad k(s)=0\quad\ldots$}$$

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 в сообщении #154889 писал(а):

Если рассматривать классы плоских кривых - то к какому можно отнести кривые с "потолка"?

Ну, вот Вам и название нового класса!

Когда я в сообщении #124249 писал(а):

В анналах её пока не нашёл,

я имел в виду, что Шикина пролистал и не увидел.

Поискал в инете еще сайты по плоским кривым, вот еще такой интересный нашел, особенно про классификацию, назвния ( персональное название кривой, по способу построения (столько названий, что затрудняюсь "caustics, derivative, integral, isoptic, orthoptic, parallel, pedal, radial, envelope, evolute, involute, cissoid, conchoid, roulette, glissette, strophoid, pursuit curve". ), свойствам кривой, по виду - изображению кривой, историческим причинам, виду формул кривой
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_di ... urves.html

Со световыми лучами занимались, как понимаю, давно - КАУСТИКИ, только свет, исходящий от источника света отражается от кривой
А так чтобы еще световой источник двигался, может это какой это особый класс каустик?

[Алексей К.]

Нет конечно.
Вы увидели здесь и там слово "световой луч". А по сути ничего общего. В каустиках ключевое слово --- огибающая.

Может, Вам трудно в это поверить, но я по-прежнеиу не знаю, кто там куда светил, и кто двигался равноускоренно.

Алексей К. в сообщении #155681 писал(а):

Я ни в какой физический смысл не вникал, исходил из дифф. уравнений.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Может, Вам трудно в это поверить, но я по-прежнеиу не знаю, кто там куда светил, и кто двигался равноускоренно.

Алексей К. в сообщении #155681 писал(а):

Я ни в какой физический смысл не вникал, исходил из дифф. уравнений.

Луч O'Y', совпадающий в начальный момент времени с осью координат OY, смещается параллельно OY с
постоянной скоростью V. Начало луча, т. O', скользит по оси OX в положительном направлении.

Нужно найти на плоскости такую плоскую кривую y(x), что точка пересечения
этой кривой с лучом O'Y' движется равноускоренно.


Можно написать иначе.
из начала координат по оси OX движется равномерно точечный источник света. Источник светит параллельно оси OY.
Над источником света некоторая кривая ( потолок), так что по потолку движется равноускоренно "световое пятно"
Нужно найти уравение кривого потолка.
В последнем варианте - нужно учитывать конечность скорости света ( ранее, как понял при
выводе дифура скорость света была бесконечной)
Так яснее, кто , куда светит, кто равноускоренно движется?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

$$\left(\frac{d\rho}{dt}\right)^2+\rho^2(t)=(Ct+C_1)^2$$

Теорема Пифагора? (Пишу не думая, жара)

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Эрих Камке писал(а):

1.370. $y'^2+y^2=f^2(x)$.
Это уравнение может быть сведено к уравнению Абеля. Полагая $y=f\sin u(x)$, получаем уравнение типа 1.202...

Порешал как мог ур. Абеля ( на бумажке), учел обратные подстановки и построил такую кривую Скучающего пассажира

[e7e5]

интересен также факт
$x(t)=ch(t)-1$,
$y(t)=\frac {sh(2t)} {4} - \frac {t} {2}$ при $t \to 0$
при малых значениях параметра $t$ кривая ведет себя как
$y=\frac {2 \sqrt 2} {3} x^{\frac {3} {2}}$

[AKM]

e7e5 в сообщении #355565 писал(а):

рассмотрим несколько иное уравнение: ...

Как это "несколько иное уравнение" соотносится с темой? Пока не вижу.

А смотрю на это, предполагая отделить его обсуждение в самостоятельную тему в "Помогите решить".

Upd попозже: а, что-то увидел...

e7e5 в сообщении #355589 писал(а):

интересен также факт
$x(t)=ch(t)-1$,
$y(t)=\frac {sh(2t)} {4} - \frac {t} {2}$ при $t \to 0$
при малых значениях параметра $t$ кривая ведет себя как
$y=\frac {2 \sqrt 2} {3} x^{\frac {3} {2}}$

Вряд ли он особо интересен. Он довольно тривиален, на мой взгляд.

-- Пт сен 24, 2010 00:28:04 --

У меня получилось $y=x^{3/2}\cdot \sqrt[\text{\large{\color{magenta}4}}]{\frac89}$. А не $\sqrt[\text{\large{\color{magenta}2}}]{\frac89}$, как у Вас. Возможно, от неопытности или поздности.

[e7e5]

$x(t)=ch(t)-1$,
$y(t)=\frac {sh(2t)} {4} - \frac {t} {2}$ при $t \to \infty$
сопоставим с $y \approx x^2$, погрешность приближения параболой ( $x(t) \approx e^t$, $y(t) \approx e^{2t}$) будет:
$\frac {e^t - x(t)} {e^t}=1-e^{-2t}-2e^{-t} <1$
$\frac {e^{2t} -y(t)} {e^{2t}}=7/8 -\frac {e^{-4t}} {8} -te^{-2t} /2 <7/8$