Finding f(0) When f(f(x))=x^2-x+1

[xagiwo]

zykov в сообщении #1559521 писал(а):

Это чтобы правильно разбить - нужно постараться.

Я про то, что сомневаюсь, что можно получить гладкую.

-- 06.07.2022, 12:59 --

(Оффтоп)

Да и вообще с сообщением про функцию $INT$ я сглупил. Там сработает тот же подход — разбить $\mathbb{R}$ неприятным образом на пары, и менять эти пары местами, получилось из пушки по воробьям. Зато картинка красивая!

[zykov]

xagiwo в сообщении #1559523 писал(а):

что можно получить гладкую.

Понятно. Я думал, что претензия к разрывности.
Насчёт гладкости, то из общих соображений, если можно получить непрерывную, то она же и будет гладкой. Никаких особенностей там нет, чтобы гладкость нарушить.

[ozheredov]

zykov
Соряныч, я перезадам вопрос: какую роль играет стационарная точка?

ozheredov в сообщении #1559481 писал(а):

допустим, $f(x) = x + 1$. Она вообще не имеет стационарных точек. И вот условие задачи: $f(f(x)) = x + 2$, найдите $f(0)$. Или для функций без стационарных точек такая задача имеет множество решений? Но тогда почему об этом ничего не сказано в условии?

[zykov]

ozheredov
Про общий случай ничего не могу сказать. Насколько знаю, в современной математике нет солидной теории функциональных уравнений. Есть только набор частных приёмов.

Для данной конкретной задачи сработала эвристика со стационарной точкой. Единственная стационарная точка $f(f(x))$ легко ищется. Далее легко проверяется (смотри их выкладки), что она же будет стационарной точкой $f(x)$ (а других стационарных точек $f(x)$ иметь не может).
Кроме того $f(f(0))=1$ попадает в эту жа стационарную точку. Дальше они показывают, что $f(0)=1$.

[ozheredov]

zykov
Спасибо, понял.

[zykov]

Придумал, как соорудить непрерывную функцию на области $x \geq 1$.
Обозначим $u(x)=x^2-x+1=(x-\frac12)^2+\frac34$ и её обратную $w(x)=\sqrt{x-\frac34}+\frac12$.
Обозначим $u^{(n)}(x)=u(u(u...(x)))$, где справа $u$ повторяется $n$ раз. И обозначим $w^{(n)}(x)=w(w(w...(x)))$, где справа $w$ повторяется $n$ раз.
Тогда $f_n(x) = w^{(n)}\left((u^{(n)}(x))^{\sqrt 2}\right)$.
И можно положить $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$.

Проверил для $n=8$. Уже для $x > 1.2$ получается хорошее совпадение $f_8(f_8(x))$ и $x^2-x+1$.

[zykov]

Аналогично кстати можно сделать для области $[\frac12, 1)$, будет $f_n(x) = w^{(n)}\left(\frac{(u^{(n)}(x))^2+1}{2}}\right)$.
Далее, для $x<\frac12$ определить $f(x) = f(1-x)$, что даст $f(x)$ на всей прямой.

[zykov]

zykov в сообщении #1559558 писал(а):

Придумал, как соорудить непрерывную функцию на области $x \geq 1$.

Проверил, если взять $f_{16}(x)$ для $x>1.1$ и взять ряд до $x^{10}$ для $1 \leq x \leq 1.1$, то точность $f(f(x))$ будет около $10^{-10}$ в районе $1.1$ и гораздо лучше в других областях.
Начало ряда:

$$x+\frac{{{(x-1)}^{2}}}{2}-\frac{{{(x-1)}^{3}}}{4}+\frac{{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{5 {{(x-1)}^{5}}}{16}+\frac{27 {{(x-1)}^{6}}}{64}-\frac{9 {{(x-1)}^{7}}}{16}+$$ $$+\frac{171 {{(x-1)}^{8}}}{256}-\frac{69 {{(x-1)}^{9}}}{128}-\frac{579 {{(x-1)}^{10}}}{2048}$$

[Lia]

Оффтоп отделен в «Реки vs рекомендации Или можно ли обойтись без жаргона»

И большая просьба не флудить страницами в ПРР.