Простой философский вопрос

[пианист]

(Оффтоп)

Было некоторым открытием для меня узнать: Лобачевский этим вопросом (аналитическое представление геометрии своего имени) тоже озабачивался.

[Pphantom]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1559173 писал(а):

Было некоторым открытием для меня узнать: Лобачевский этим вопросом (аналитическое представление геометрии своего имени) тоже озабачивался.

Насколько я помню, даже не "тоже", а буквально в первой же публикации "ушел" в тригонометрию и аналитическую геометрию, собственно классических геометрических вещей там мало. В принципе, с учетом его основных научных интересов, оно неудивительно...

[пианист]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1559174 писал(а):

В принципе, с учетом его основных научных интересов, оно неудивительно...

Да. И в частности, Лобачевский установил, что его геометрия локально моделируется в обычной (как мнимая сферическая, применив комплексные числа) - факт, заслугу открытия которого принято приписывать Бельтрами.

[vpb]

Для полноты картины, уточним кое-что о месте геометрии Лобачевского в современной математике. Во-первых, публикуется некоторое количество работ по самой геометрии Лобачевского. А во-вторых, и это главное, она влияет на огромное количество вещей в математике. Что на ум приходит, какие области и предметы ? Дискретные группы преобразований, поверхности постоянной кривизны, римановы поверхности, алгебраические кривые, всякие замощения пространства Лобачевского правильными многогранниками, дискретные подгруппы групп Ли, арифметические группы, автоморфные формы, тэта-функции, гиперболические группы, топология многообразий (трехмерных и более, чтоб с поверхностями не путать) ... "тысячи их" ! Всё это, заметим, вещи достаточно хорошо известные. Жаль, что ни заслуженный участник по разделу математики, ни модератор, видимо, ничего о них не знают. Не в том её роль, что одну аксиому из остальных нельзя вывести.

Mikhail_K в сообщении #1559122 писал(а):

плоскость/пространство Лобачевского можно вводить и изучать как пример риманова пространства, а не на основе евклидовых постулатов с отрицанием пятого постулата. Как ни крути, линейная алгебра и дифференциальная геометрия дают гораздо более мощный и удобный язык для любых геометрических исследований, чем постулаты Евклида.

Думаю, что для столь общих указаний вы, как бы сказать, недостаточно компетентны. (Это вроде дискуссии о вкусе устриц между двумя людьми, один из которых устрицы ел, а другой знаком с ними чисто визуально.)

(Если что, мой кругозор тоже невелик. Но я, правда, не делаю глобальных радикальных заявлений, предлагая отменить какую-то область.)

[Pphantom]

vpb в сообщении #1559188 писал(а):

Дискретные группы преобразований, поверхности постоянной кривизны, римановы поверхности, алгебраические кривые, всякие замощения пространства Лобачевского правильными многогранниками, дискретные подгруппы групп Ли, арифметические группы, автоморфные формы, тэта-функции, гиперболические группы, топология многообразий (трехмерных и более, чтоб с поверхностями не путать) ... "тысячи их" ! Всё это, заметим, вещи достаточно хорошо известные. Жаль, что ни заслуженный участник по разделу математики, ни модератор, видимо, ничего о них не знают.

Ну конкретно модератор попросту не привык называть это "геометрией Лобачевского". И, похоже, не только он.

[vpb]

Pphantom в сообщении #1559199 писал(а):

Ну конкретно модератор попросту не привык называть это "геометрией Лобачевского"

Я и не говорю, что это именно сама геометрия Лобачевского. Это те области, для которых ее надо знать. В этом смысле, она вполне принадлежит современной науке.

Можно, конечно, объявить и геометрию Лобачевского, в силу ее более-менее завершенности, "тупиковой ветвью, чуждой современной математике". Как тут некоторые сделали в отношении классической геометрии. Правда, это противоречит тому, что из тупиков, как правило, ничего не растет.

[Pphantom]

vpb, пожалуй, вы слишком увлекаетесь. Все-таки под "современной наукой" обычно принято понимать области, развивающиеся прямо сейчас, а не используемые в других областях (тоже прямо сейчас). Иначе есть риск изучение таблицы умножения признать современной наукой, поскольку ее таки очень много где надо знать.

Другое дело, что современные результаты, касающиеся геометрии Лобачевского в ее "классическом" варианте, действительно существуют и, по-видимому, еще долго будут появляться. Но, наверное, от мейнстрима это все-таки уже довольно далеко (а это существенно, иначе "современной" опять-таки придется признать практически любую область науки).

[vpb]

Pphantom
Почему бы тогда более точно не определить понятия "часть современной математики", "кусок, чуждый (или наоборот, не чуждый) всей современной математике" ? А то я не вполне понимаю, что вы, в качестве модератора, желаете, чтоб я предъявил. Я предъявил геометрию Лобачевского; ан нет, не подходит оказалось.

[Pphantom]

vpb, я в качестве модератора (и не только) хотел бы, чтобы вы не бросались на оппонентов по несуществующим поводам. Дефиниции - это правильно, ровно с них и стоило бы начать, не забывая, что для подобных понятий они у разных людей вполне могут быть разными.

[vpb]

Pphantom в сообщении #1559232 писал(а):

Дефиниции - это правильно, ровно с них и стоило бы начать,

Судя по употреблению оппонентом эмоционально окрашенных выражений "чуждый всей современной математике", "тупиковый раздел", (я бы даже сказал, провокационных), вряд ли он стал бы со мной вежливо договариваться об определениях. А вот ваши дефиниции понятий "часть современной математики", "чуждый кусок", хотелось бы таки узнать. А иначе непонятно, про что вы говорили "да, это намек!".

[Lia]

Просьба прекратить эту ветвь дискуссии в теме и продолжить ее в другом месте.

Upd: Прекратить - это прекратить. Ответы на просьбу о прекращении утилизованы.

[avlanov]

vpb в сообщении #1559223 писал(а):

Я предъявил геометрию Лобачевского...

Кстати о Лобачевском.
Если аналитическое доказательство 5-го постулата в формулировке Евклида таки существует, то, учитывая независимость математики от геометрической аксиоматики, оно (доказательство) обязано быть распространено и на геометрию Лобачевского. Тогда геометрии Лобачевского быть не должно (напомню, что речь у Лобачевского идет не о поверхностях и геодезических линиях, а о конкретном их виде - плоскости и прямых). Поскольку к математическому аппарату Лобачевского претензий нет (у меня - точно (увы)), можно предположить, что "геометрия Лобачевского" геометрией на самом деле не является - не у всякого мат. описания обязана существовать геометрическая интерпретация. И то, что все геометрические интерпретации геометрии Лобачевского некорректны (допущения, искажения (анизотропия), несколько систем отсчета, локальность) - лишнее тому подтверждение.
Если коротко, из-за "нехватки" аксиом геометрия Лобачевского это ещё не геометрия, а, образно выражаясь, "геометрический потенциал", реализующийся в геометрию в случае "аксиоматической укомплектованности"...

[Someone]

avlanov в сообщении #1559741 писал(а):

Если аналитическое доказательство 5-го постулата в формулировке Евклида таки существует

Не существует.

avlanov в сообщении #1559741 писал(а):

Тогда геометрии Лобачевского быть не должно

Благополучно существует. Вместе с громадной кучей всяких других геометрий.

Прежде чем утверждать, что нечто — не геометрия, нужно сформулировать точное определение того, что называется геометрией "вообще". Я никогда такого определения не видел.

[avlanov]

Someone в сообщении #1559745 писал(а):

avlanov в сообщении #1559741 писал(а):

Если аналитическое доказательство 5-го постулата в формулировке Евклида таки существует

Не существует.

1). Берём два произвольных уравнения первого порядка, и определяем, при каких параметрах их значения не совпадают во всем диапазоне значений аргумента.
2). Попутно узнаем, что при найденных параметрах разность значений У1 - У2 $=$ Сonst, не зависимо от Х.
3). Задаем произвольную совокупность (Ха; Ya), принадлежащую одному из уравнений, и показываем, что все уравнения, удовлетворяющие условию не имения общих значений с другим уравнением, но включающих в себя указанные (Ха; Ya), равны. То есть, показываем, что возможно только одно уравнение, удовлетворяющее озвученным условиям.
Звучит несколько топорно, но я специально не применял геометрических терминов "точка", "прямая", "линейное", "пересекает", "параллельна", "совпадают".

Насколько я понимаю, проблема "доказательства" в другом:

Mikhail_K писал(а):

Ну, чтобы доказывать постулаты Евклида алгебраическими средствами, надо, например, знать уравнение прямой. Но откуда его взять? Вот и требуются основания геометрии, в рамках которых это уравнение выводилось бы.

Если не ошибаюсь, речь, видимо, о том, что требуется доказать соответствие геометрических понятий их аналитическим "аналогам": линейного уравнения - геометрическому понятию прямой и т.д. (возникла мысль, что при введении подобных "аксиом соответствия", возможно отказаться от геометрических аксиом - что так, что эдак базовые понятия геометрии определений всё равно не получают). Но это касается геометрии вообще - безотносительно её конкретного вида. И в этом плане геометрия Лобачевского проигрывает геометрии Евклида. У последнего хотя бы есть созерцательная форма. У Лобачевского же - исключительно аналитическая.

Цитата:

Прежде чем утверждать, что нечто — не геометрия, нужно сформулировать точное определение того, что называется геометрией "вообще".

Не спорю. Но в отсутствие дефиниций верно и обратное - прежде чем утверждать, что математическое описание есть геометрия, следует с этим понятием определиться.
Так что, "один - один"...

[Pphantom]

avlanov, оформляйте формулы правильно, пожалуйста.