Опытное предположение, алгебраические числа

[Sonic86]

Рассмотрим кольцо $\mathbb{Z}[ \alpha]$, где $\alpha = \sqrt[3]{2}$
Его элементы имеют вид $x+ \alpha y + \alpha ^2 z$
Псевдонорма из $\mathbb{Z}[ \alpha]$ в $\mathbb{Z}$ такова:
$F(x,y,z) = N(x+ \alpha y + \alpha ^2 z) = x^3+2y^3+4z^3 - 6xyz$.
Пусть Q - множество простых, представимых как $F(x,y,z)$, $\pi_Q (n)$ - функция его плотности, то есть $Q(n)$ - число простых, представимых как $F(x,y,z)$, не больших n.
$\pi (n)$ - плотность простых чисел (обычная).
Для $n=10^7$ у меня получилось $\frac{\pi_Q (n)}{\pi (n)} = 0,618$ (последняя цифра сомнительна).

ВОПРОС: верно ли $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\pi_Q (n)}{\pi (n)} = \phi$ - золотому сечению, а если да, то что бы это значило?

[RIP]

Представимость простого числа $p$ в требуемом виде равносильна тому, что 2 является кубическим вычетом $\mod p$, т.е. либо $p\equiv0,2\pmod3$, либо (критерий Гаусса) $p=x^2+27y^2$ для некоторых целых $x,y$. Не знаю, существует ли асимптотика для количества таких чисел.

[Sonic86]

Странно, я проверял простые, представимые в таком виде на принадлежность каким-нибудь классам вычетов - ни одного не нашел, в том числе и $p \equiv 0,2 (\mod 3)$ исключается.
Я еще раз проверю на всякий случай...

Может книжку подскажете?

[RIP]

Берёте любую книжку по алгебраическим числам и смотрите там, как простые числа разлагаются в произведение простых идеалов. Кто-то здесь давал ссылку на лекции Ю.В. Нестеренко по алгебраическим числам (к сожалению, не помню адрес), там очень неплохо этот вопрос изложен. Дальше надо учесть, что $\mathbb Z[\alpha]$ - это максимальный порядок в поле $\mathbb Q(\alpha)$ (т.е. кольцо целых, если по-человечески; поэтому факторизация $p$ получается из факторизации $x^3-2$ над $\mathbb F_p$), число классов идеалов этого поля равно 1 (т.е. любой идеал главный; эту циферку я взял в Боревиче--Шафаревиче) и норма -1 равна -1 (поэтому из представления $\pm p$ в нужном виде следует представление для $p$). Критерий Гаусса я встречал в книжке Berndt B.C., Evans R.J., Williams K.S. — Gauss and Jacobi Sums (см. кубический закон взаимности). Не знаю, где я мог ошибиться.

[Sonic86]

Простые, представимые формой, описанной выше, меньшие 100, такие:
2, 3, 5, 11, 17, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 71, 83, 89.
Не тот критерий

[RIP]

Почему же не тот? Все простые $p\equiv0,2\pmod3$ вроде бы входят в список, а среди $p\equiv1\pmod3$ те и только те, которые представимы в виде $p=x^2+27y^2$. Вы наверное неправильно меня поняли. Моё утверждение:
1) Все простые $p\equiv0,2\pmod3$ представимы в требуемом виде;
2) Простое $p\equiv1\pmod3$ представимо в требуемом виде iff $p=x^2+27y^2$.
Мне несколько некогда (да и вообще впадлу, если начистоту) тщательно проверять, даёт ли Ваш список опровержение.

[Sonic86]

Да, я неправильно вас понял.

Впадлу - это как

[RIP]

Sonic86 в сообщении #157394 писал(а):

Впадлу - это как

"впадлу" - это "неохота", если вам это ещё интересно.