Группа изометрий квадрата

[Slav-27]

Nartu
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%B8%D1%8F

[Nartu]

ладно... они оказались эквивалентными.. и количество соотношений тоже три, меньше не стало. Да и я не хотел на вики ходить..забросил это дело.
Но если учесть практику, то первый вариант лучше?

[sour]

vpb
Да, я понимаю, что я, возможно, пока что не понимаю некоторых базовых вещей, однако сейчас я делаю это задание и сделать мне его надо с помощью тех знаний, которые у меня есть.

Сейчас я понимаю, что нормальное замыкание соотношений должно совпадать с ядром того, что Ольшанский в той книге называет гомоморфизмом копредставления. Описанный вами способ меня не устраивает, потому что мне надо задать группу изометрий треугольника, квадрата и тетраэдра. Для треугольника и квадрата ситуация проста, там сработает и тот способ, что вы описали, но вот с тетраэдром все сложнее, потому что там таких слов будет уже 24. Во-первых, само перечисление этих слов займет слишком много места и времени, во-вторых, доказательство того, что любое слово сводимо через какие-то соотношения к этим словам выглядит для меня через чур сложным, и, в-третьих, сами эти соотношения я не знаю, и, в отличие от треугольника или квадрата, они кажутся не такими интуитивными.

Есть ли какой-то стандартный способ находить соотношения и быстро доказывать, что фактор свободной группы по ним действительно изоморфен задаваемой группе?

[Slav-27]

sour в сообщении #1558035 писал(а):

Есть ли какой-то стандартный способ находить соотношения и быстро доказывать, что фактор свободной группы по ним действительно изоморфен задаваемой группе?

Есть глупый способ задать любую группу образующими и соотношениями: в качестве множества образующих взять всю группу, а в качестве соотношений $abc^{-1}$ для всех $ab=c$.

То есть вы хотите, чтобы образующих было меньше. Для тетраэдра не очень сложно, опять-таки, изометрия однозначно определяется перестановкой вершин, и на самом деле это будет вся $S_4$. Симметрическая группа порождается транспозициями, можно понять, какие между ними соотношения (что будет, если сопрячь транспозицию другой транспозицией?). Чтобы доказать, что этих соотношеий достаточно, не обязательно выписывать 24 слова, а можно воспользоваться разложением $24=6\times 4$: сначала разобраться с $S_3$ и получить, что туда вложена $S_3$, а потом доказать, что смежных класов по этой вложенной $S_3$ не более 4.