2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 10:11 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
Здравствуйте!
Известно, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на данном отрезке, т.е. существует определённый интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$.

Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx,
$$
где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 10:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ёж в сообщении #1557825 писал(а):
Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx,
$$
где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 11:12 


07/08/14
4231
Otta
А если так:
"сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 12:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
upgrade
Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 15:16 


07/08/14
4231
Otta в сообщении #1557835 писал(а):
Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.
Спасибо!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение20.06.2022, 09:35 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
Otta в сообщении #1557826 писал(а):
Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

Спасибо, понял!
Еще один вопрос.
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и непрерывно дифференцируема на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0} f(x)\bigg|\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}(f(b-\varepsilon)- f(a+\varepsilon))=f(b)- f(a)
$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.06.2022, 09:59 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.06.2022, 16:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 20.06.2022, 18:59 --

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):
можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Posted automatically
Сообщение21.06.2022, 08:40 
Аватара пользователя


10/05/09
217
Лес
Lia в сообщении #1558004 писал(а):

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):
можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.


Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group